gara di capodanno

Una moto ha una acc. massima a1 e una acc. negativa massima (frenata) a2 e deve percorrere un tragitto di lunghezza S, partendo da ferma e arrivando ferma. A quale distanza d dalla partenza cessera' la accelerazione ed iniziera' a frenare, volendo conseguire il minore tempo t ? Quale e' la velocita' V massima raggiunta ?

La modalità di movimento che minimizza il tempo di percorrenza è la continua accelerazione 

V = a1*t1

t2 = t1*a1/a2  ( V= a*t = costante)

2S = V*t1+V*t1*a1/a2= V*t1*(1+a1/a2) = a1*t1*t1*(1+a1/a2) = a1*t1^2*(1+a1/a2)

S = a1*t1^2*(1+a1/a2)/2

d = a1*t1^2/2  

proviamo a porre :

S = 75 m 

a1 = 5 m/sec^2

a2 = 10 m/sec^2

audemus dicere 😉 : 

75 = 5*t1^2(1+5/10)/2 

t1 = √150/(5*1,5) = 2√5  sec

t2 = 2√5 * 5/10 = √5 sec 

tempo totale t = t1+t2 = 3√5

velocità V = a1*t1 = 5*2√5 = 10√5 m/sec  ( ≅ 80,50 km/h) 

d = a1/2*t1^2 = 2,5*20 = 50 m 

Ciao di nuovo.

Il problema si compone di due parti:

moto uniformemente accelerato con equazioni del moto

{x = 1/2·a·t^2

{v = a·t

con a=2.5 m/s^2 si ottiene:

{x = 5·t^2/4

{v = 5·t/2

Fino ad arrivare ad una certa distanza dalla partenza x<3000 m in un tempo t = α

In questo istante la moto ha percorso tale distanza distanza arrivando alla velocità massima:

{x = 5·α^2/4

{v = 5·α/2 

La seconda parte del problema consta delle seguenti equazioni orarie:

{x = 5·α^2/4 + 5·α/2·Τ - 1/2·3.5·Τ^2

{v = 5·α/2 - 3.5·Τ

in cui abbiamo azzerato i cronometri e quindi abbiamo fatto riferimento al tempo di frenata T che è dato da:

0 < Τ ≤ β

Adesso si impongono le condizioni terminali:

{3000 = 5·α^2/4 + 5·α/2·β - 1/2·3.5·β^2

{0 = 5·α/2 - 3.5·β

Sistema che risolviamo nelle incognite α e β , con la sostituzione:

β = 5·α/7

3000 = 5·α^2/4 + 5·α/2·(5·α/7) - 1/2·3.5·(5·α/7)^2-----> 3000 = 15·α^2/7

quindi: α = - 10·√14 ∨ α = 10·√14 

β = 5·(10·√14)/7-------> β = 50·√14/7  

Tempo complessivo della gara di capodanno: t = α + β----> t = 10·√14 + 50·√14/7

t = 37.41657386 + 26.72612419-------> t = 64.143 s

Quindi recapitolando:

La distanza percorsa dalla moto per arrivare alla velocità max è:

x = 5·(10·√14)^2/4------> x = 1750 m

La velocità finale max è quindi: v = 5·(10·√14)/2

Vmax= 93.54143466 m/s=93.54143466·3.6 = 336.750 km/h

vi = 0

vf = 0

Il tempo t é dato da t1 + t2 + t3

s1 = 1/2 a1 t1^2

s2 = a1 t1 t2

la velocità finale é nulla per cui a1 t1 - a2 t3 = 0 =>  t3 = a1 /a2 * t1

e s3 = a1 t1 t3 - 1/2 a2 t3^2 = a1 t1 * a1/a2 t1 - a2/2 a1^2 / a2^2 * t1^2 =

= a1^2 /(2a2) t1^2

t1 + t2 + t1 * a1/a2 deve essere minimo con   

s = 1/2 a1 t1^2 + a1 t1 t2 + a1^2/(2a2) t1^2 

1/2 a1 t1 ( t1 + 2t2 + a1 t1 /(2a2) ) = s

Quindi dovresti determinare il minimo vincolato di

t1 + t2 + a1/a2 t1 = ( 1 + a1/a2 ) t1 + t2

sotto il vincolo    

1/2 a1 t1^2 + a1 t1 t2 + a1^2/(2a2) t1^2 - s = 0

e non saprei come evitare i moltiplicatori di Lagrange.

Non entro nel merito della discussione ma mi risulta

t2 = 0 e t1 = sqrt [ 2 a1 s/(a2 (a1 + a2) ) ]

e le relative distanze richieste sono

d1 = d2 = a1/2 * t1^2 = a1^2 s/(a2(a1 + a2))

vmax = a1 t1 = a1 sqrt [ 2 a1 s/(a2 (a1 + a2) ) ]

Con F.E. EXCEL:

La velocità massima raggiunta è, ovviamente, V = v(X) = v(T | s(T) = X); X è l'ascissa del punto in cui iniziare la frenata per minimizzare il tempo di percorrenza della distanza S sotto il vincolo v(0) = v(S) = 0.
Per soddisfare al vincolo v(S) = 0 occorre una frenata con leggi
* s(t) = X + (V - (a/2)*(t - T))*(t - T)
* v(t) = V - a*(t - T)
* X > 0
* 0 < a <= a2
all'ultimo istante U si deve avere
* (v(t) = V - a*(t - T) = 0) & (s(t) = X + (V - (a/2)*(t - T))*(t - T) = S > X > 0) & (0 < a <= a2) ≡
≡ (0 < a = f = V^2/(2*S - 2*X) <= a2 = F) & (t = T + 2*(S - X)/V)
questo "t" è l'obiettivo da minimizzare, sotto il vincolo 0 < a <= a2, una volta espresse le costanti {S, V, X} nei termini delle grandezze del primo tratto.
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Il primo tratto in accelerazione si svolge con leggi
* s(t) = (a/2)*t^2
* v(t) = a*t
* 0 < a <= a1
All'istante T si ha
* (s(T) = (a/2)*T^2 = X) & (v(T) = a*T = V) & (0 < a <= a1 = A)
e quindi
* 0 < f = (a*T)^2/(2*S - 2*((a/2)*T^2)) <= F ≡
≡ 0 < (a*T)^2/(2*S - a*T^2) <= F ≡
≡ 0 < a <= (√((F*T^2 + 8*S)*F)/T - F)/2
* t = T + 2*(S - ((a/2)*T^2))/(a*T) = (2*S/T)/a
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Col vincolo
* 0 < a <= (√((F*T^2 + 8*S)*F)/T - F)/2
si ha, ovviamente,
* min[(2*S/T)/a] = (2*S/T)/((√((F*T^2 + 8*S)*F)/T - F)/2) =
= (4*S)/(√((F*T^2 + 8*S)*F) - F*T)
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Sostituzioni per il primo tratto
* 0 < (4*S)/(√((F*T^2 + 8*S)*F) - F*T) <= A ≡
≡ 0 < T <= A - 2*S/(A*F)
* X = (2*S*T^2/(√((F*T^2 + 8*S)*F) - F*T))/2
* V = 4*S*T/(√((F*T^2 + 8*S)*F) - F*T)
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RISOLUZIONE
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* X = (2*S*(A - 2*S/(A*F))^2/(√((F*(A - 2*S/(A*F))^2 + 8*S)*F) - F*(A - 2*S/(A*F))))/2 =
= (F*A^2 - 2*S)^2/(4*A*F^2)
* V = 4*S*(A - 2*S/(A*F))/(√((F*(A - 2*S/(A*F))^2 + 8*S)*F) - F*(A - 2*S/(A*F))) =
= A^2 - 2*S/F
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Caso particolare per (A = 5/2 m/s^2) & (F = 7/2 m/s^2) & (S = 3000 m)
* X = ((7/2)*(5/2)^2 - 2*3000)^2/(4*(5/2)*(7/2)^2) =
= 457446125/1568 ~= 291738.6 m
* V = (5/2)^2 - 2*3000/(7/2) =
= - 47825/28 ~= - 1708
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RISPOSTA
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Peccato!
Com'è facile vedere dall'applicazione al "Caso particolare" devo aver cannato alla grande (dove, 'a Maronn' 'o sape!).
Non mi va di fare la diagnosi del malfunzionamento perché, nutrendo grande fiducia nel mio istinto procedurale, non mi sognerei mai di usare una diversa procedura risolutiva e quindi mi toccerebbe di rifare da capo una marea di calcoli simbolici coll'onnipresente rischio che invece sia proprio la procedura ad essere fallace.
Andrà meglio un'altra volta, per ora: AUGURI A TUTTI!