[Risolto] Funzioni punti di discontinuità

Ciao Sole00.
I punti di discontinuità "candidati" della funzione sono x1=4 e x2=1, in quanto il denominatore restituisce zero solo quando x è uguale a questi due valori.

Ecco:
x^2 - 5x + 4 = 0 se, e solo se, (x-4)(x-1)=0, se, e solo se, x=4 oppure x=1.

Calcolando i limiti a destra e a sinistra di 1 e 4 si ottengono rispettivamente +inf a destra e -inf a sinistra, i quali differiscono da f(1) e f(4) (perché non sono definiti).

Ciao!

I punti di discontinuità di una funzione sono quei valori di $x$ che vanno esclusi dal dominio, perché creano delle "problematiche" per la funzione.

Nel caso della funzione $ y = \frac{x-2}{x^2-5x+4}$ il problema risiede nel fatto che è una funzione fratta e che quindi deve avere necessariamente denominatore diverso da zero, perché altrimenti staremmo dividendo per zero!

Allora la condizione che dobbiamo verificare è $x^2-5x + 4 \neq 0 $

$(x-4)(x-1) \neq 0 $

$ \rightarrow x \neq 4 \ \vee \ x \neq 1 $

Quindi $ x = 1$ e $x = 4$ sono i valori della variabile da escludere dal dominio. Sono quindi candidati per essere punti di discontinuità. 

Lo sono? Calcoliamo i limiti per $x \rightarrow 1^{\pm}$ e $x \rightarrow 4^{\pm}$

$\lim_{x \rightarrow 1^{\pm}} \frac{x-2}{x^2-5x+4} = \lim_{x \rightarrow 1^{\pm}} \frac{x-2}{(x-4)(x-1)} = \lim_{x \rightarrow 1^{\pm}} \frac{1-2}{(1-4)(1^{\pm}-1)} = \lim_{x \rightarrow 1^{\pm}} \frac{-1}{-3\cdot 0^{\pm}} \approx \frac{1}{0^{\pm}} = \pm \infty$

Quindi $x = 1$ è un punto di discontinuità di seconda specie.

$\lim_{x \rightarrow 4^{\pm}} \frac{x-2}{x^2-5x+4} = \lim_{x \rightarrow 4^{\pm}} \frac{x-2}{(x-4)(x-1)} = \lim_{x \rightarrow 4^{\pm}} \frac{4-2}{(4^{\pm}-4)(4-1)} = \lim_{x \rightarrow 4^{\pm}} \frac{2}{ 0^{\pm}\cdot 3} \approx \frac{1}{0^{\pm}} = \pm \infty$

Anche $x = 4$ è un punto di discontinuità di seconda specie.