[Risolto] funzioni pari e dispari

"... dopo averne determinato il dominio."
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Le funzioni
1) y = log(b, x^3) = ln(x^3)/ln(b) [per ogni base b lecita]
2) y = log(b, x^4) = ln(x^4)/ln(b) [per ogni base b lecita]
3) y = sin(x^2 + 1) = sin(1)*cos(x^2) + cos(1)*sin(x^2)
4) y = (5^(- x) + 5^x)/5 = (e^(- ln(5)*x) + e^(ln(5)*x))/5 = (2/5)*cosh(ln(5)*x)
hanno tutte
* dominio: l'intero asse x reale
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per 3 e 4
* codominio: l'intero asse y reale
* insieme di definizione: l'intero asse x reale
* insieme di definizione reale: l'intero asse x reale
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per 1 e 2
* codominio: l'intero piano di Argand-Gauss
* insieme di definizione: x != 0
per 1
* insieme di definizione reale: x > 0 [y = log(b, x^3) = 3*ln(x)/ln(b)]
per 2
* insieme di definizione reale: x != 0 [per x > 0, y = 4*ln(x)/ln(b)]
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PARITA' DELLE FUNZIONI
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Ogni f(x) si esprime come somma delle sue componenti pari (CP) e dispari (CD).
* CP[f(x)] = [f(x) + f(- x)]/2
* CD[f(x)] = [f(x) - f(- x)]/2
quindi
* f(x) = CP[f(x)] + CD[f(x)] = [f(x) + f(- x)]/2 + [f(x) - f(- x)]/2
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La f(x) è pari se CD[f(x)] = 0, cioè se f(- x) = f(x) per ogni x.
La f(x) è dispari se CP[f(x)] = 0, cioè se f(- x) = -f(x) per ogni x.
La f(x) non è né pari né dispari se CP e CD sono entrambe non nulle, cioè se
* f(x) ≠ f(- x) ≠ - f(x).
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"Tra le seguenti funzioni individua ..."
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1) y = ln(x^3)/ln(b): né pari né dispari.
* ln((- x)^3) = - ln(x^3) ≡ FALSO
* ln((- x)^3) = + ln(x^3) ≡ FALSO
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2) y = ln(x^4)/ln(b): pari
* ln((- x)^4) = - ln(x^4) ≡ FALSO
* ln((- x)^4) = + ln(x^4) ≡ VERO
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3) y = sin(x^2 + 1): pari
* sin((- x)^2 + 1) = - sin(x^2 + 1) ≡ FALSO
* sin((- x)^2 + 1) = + sin(x^2 + 1) ≡ VERO
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4) y = (5^(- x) + 5^x)/5: pari
Si decide per ispezione, per la proprietà commutativa dell'addizione.