Determinare l’equazione della retta tangente al grafico nel punto x = 2. Si consideri la funzione F(x, y) = x^3 − 3xy^2 + 6y: a) calcolare la derivata direzionale di F lungo il vettore v = (3, −1) nel punto (x, y) = (1, 0); b) verificare che (x, y) = (1, 1) `e un punto di sella.
Con asse delle y (cioè x=0) NON ESISTE perché per x=0 non esiste la funzione
Con asse delle x (cioè y=0 NON ESISTONO: lo si deduce dal C.E. in quanto per i valori che possono assumere le x rendono sempre positiva la funzione
Segno funzione
Sempre positiva!
Condizioni agli estremi del C.E. ]-inf;- √3[U]√3;+inf[
I 4 limiti che devi considerare sono infiniti. In particolare quelli intermedi denunciano la presenza di due asintoti verticali. Ci potrebbero essere due asintoti obliqui sinistro e destro.
Calcolo delle due derivate: (ti riporto solo i risultati)
y' = x·(x^2 - 6)/(x^2 - 3)^(3/2)
y'' =3·(x^2 + 6)/(x^2 - 3)^(5/2)
Minimi relativi ed assoluti
Studia il numeratore della derivata prima con la condizione del C.E.
{x(x^2-6)>0
{x < - √3 ∨ x > √3
Risolvi ed ottieni : [- √6 < x < - √3, x > √6]
Quindi deduci i due minimi in corrispondenza di x=- √6 ed x=√6
Concavità: sempre verso l'alto in quanto y'' sempre positivo
Asintoti obliqui sono presenti due asintoti: sinistro e destro con coefficiente angolare rispettivo -1 e +1