[Risolto] FUNZIONI, INIETTIVE, BIIETTIVE, SURIETTIVE

a) $f(x) = x^3 -1$

• Dominio f(x) = D = ℝ; la funzione f(x) è continua in D.

propongo due alternative per rispondere alle domande

a.1 

• E' suriettiva? Si, infatti
  • $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$
  • $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$

essendo la funzione continua, per il teorema dei valori intermedi (IVT), possiamo concludere che l'immagine di f(x) è tutto ℝ, quindi f(x) è surgettiva.

• E' iniettiva? Si, infatti f(x) è monotona strettamente crescente.

Consideriamo due generici punti distinti $x_1 > x_2$ si vuole dimostrare che 

$f(x_1) \gt f(x_2)$

per assurdo

$f(x_1) \le f(x_2)$

$x_1^3 - 1 \le x_2^3 - 1$

$x_1^3 \le x_2^3 $

$x_1 \le x_2 $

e questo contraddice l'ipotesi assunta.

• E' bigettiva? Ovviamente, soddisfa la definizione.

Da quanto detto:

-) Dominio = ℝ

-) Codominio = ℝ.

• L'inversa. Determiniamo l'inversa tramite i soliti 3 passi.

+) Riscriviamo la funzione nella forma $y = x^3-1$

++) Scambiamo tra loro i nomi delle due variabili. $ x = y^3 -1$

+++) Risolviamo in y. $y = \sqrt[3]{x+1}$

dico che $f(x)^{-1} = \sqrt[3]{x+1}$

a.2 

Dominio f(x) = ℝ

Applico la procedura dell'inversa illustrata in a.1 determinando $y = \sqrt[3]{x+1}$

Dominio y(x) = ℝ

Verifichiamo che y(x) è proprio l'inversa di f(x). Osservazione: a questo punto non sappiamo se f(x) ammette inversa e il fatto di aver concluso un algoritmo non ci autorizza di affermarne l'esistenza.

• $y \circ f(x) = \sqrt[3]{(x^3 -1)+1} = x$ cioè l'identità.
• $f \circ y (x) = (\sqrt[3]{(x +1)})^3 -1  = x$ cioè l'identità.  

quindi $y =f^{-1}(x)$. Se f(x) ammette inversa allora è bigettiva in tutto il suo Dominio e il suo Codominio sarà il Dominio della funzione inversa.

 In questo caso non è necessario imporre nessuna restrizione sul Dominio di f(x) e sul suo Codominio.

b

$f(x) = \sqrt{x+1}$

Dominio f(x) := D = [-1, +∞). f(x) è una funzione continua in D.

• E' suriettiva? NO il punto y = -1 non è immagine di alcun punto del dominio D.
• E' iniettiva? SI, infatti è una funzione strettamente crescente.
• E' bigettiva? NO

Determiniamo l'insieme immagine di f(x). 

+) f(-1) = 0

++) $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$

essendo f(x) continua (e strettamente crescente) possiamo concludere che il Codominio f(x) = [0, +∞) 

per cui

$\begin{align}f\colon [-1,+∞) &\to [0,+∞)\\ x &\mapsto \sqrt{x+1} \end{align}$

 Se restringiamo il Dominio e il Codominio a quanto detto in precedenza la funzione f(x) risulta essere bigettiva quindi esiste l'inversa.

Se sviluppiamo i tre passi per l'inversa otteniamo

$f^{-1}(x) = x^2 - 1$ 

per cui

$\begin{align}f^{-1}\colon [0,+∞) &\to [-1,+∞)\\ x &\mapsto x^2 - 1 \end{align}$

a) definita in R.

E' iniettiva perché

f(x1) = f(x2)

x1^3 - 1 = x2^3 - 1

x1^3 = x2^3

(x1 - x2) (x1^2 + x1x2 + x2^2) = 0

il trinomio ha D < 0

per cui x1 = x2

E' suriettiva perché

x^3 - 1 = y ha sempre soluzione

e la funzione inversa é x = rad_3[1 + y]

y = rad_3(x + 1)

b) definita per x >= -1

E' iniettiva perché

rad(x1 + 1) = rad (x2 + 1)

x1 + 1 = x2 + 1

x1 = x2

Non é suriettiva su R perché se si pone

rad(x + 1) = y, y non può essere negativo per la convenzione sui radicali

x + 1 = y^2

x = y^2 - 1

La funzione é biunivoca da [-1, +oo[ a [0, +oo[