[Risolto] funzioni goniometriche inverse

$ arctan (-\frac{4}{3}) $  questo è un angolo negativo che indichiamo con α.

Non è necessario determinarlo è sufficiente notare che, per definizione di funzione inversa si ha

$ tan (arctan (-\frac{4}{3}) )= -\frac{4}{3} $

A questo punto è sufficiente ricordare la formula che lega il seno alla tangente,

$sin(α) = \pm \frac{tan(α)}{\sqrt{1+tan^2(α)}}$

quindi, 

$sin[arctan(-\frac{4}{3})] = \pm \frac {\frac{4}{3}}{\sqrt{1+\frac{16}{9}}}$

$sin[arctan(-\frac{4}{3})] = \pm \frac{\frac{4}{3}}{\frac{5}{3}} = \pm \frac{4}{5}$

Lascio a te le considerazioni sul segno

$sin[arctan(-\frac{4}{3})] = -\frac{4}{5}$

Sul mio libro di Trigonometria (a.s. 1956/57) c'erano alcuni paragrafi intitolati "esprimere Tizio in funzione di Caio"; in quello "esprimere il seno in funzione della tangente" si mostrava come ricavare sin(α) a partire dal valore di tg(α).
Se ti dico che tg(α) = x, cioè α = arctg(x), allora sin(α) = sin(arctg(x)) = x/√(x^2 + 1).
Se lo applichi al tuo dato x = - 4/3 trovi che
* sin(arctg(- 4/3)) = (- 4/3)/√((- 4/3)^2 + 1) = - 4/5
ALTERNATIVAMENTE
Si possono riconoscere in "4/3" i cateti della terna pitagorica (3, 4, 5), con coseno 3/5 e seno 4/5, e poi aggiustare il segno.

Prima nella calcolatrice esegui l'arcotang(-4/3) che fa 

Arctang(-4/3) = -53,13⁰

E poi fai il seno del risultato 

Sen(-53,13⁰) = -0,8