Considera la parabola $\gamma$ di equazion $y=x^2-4 x+4$ e la retta $r$ passante per il punt $A(-1 ; 1)$ e per il punto $B$ di $\gamma$ di ascissa $\frac{3}{5}$.
La retta $r$ interseca $\gamma$, oltre che in $B$, anche in Trova l'equazione della retta tangente $t$ alla para bola in C e l'angolo formato dalle rette $r$ e $t$.
$$
\left[r: y=\frac{3}{5} x+\frac{8}{5} ; t: y=4 x-12 ; \frac{\pi}{4}\right]
$$
113
punti
Livello 1
La parabola
* Γ ≡ y = x^2 - 4*x + 4 = (x - 2)^2
ha
* asse x = 2
* vertice V(2, 0)
* concavità rivolta verso y > 0
* pendenza m(x) = 2*(x - 2)
All'ascissa x = 3/5 ha il punto B(3/5, 49/25).
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La retta congiungente B con A(- 1, 1) è
* r ≡ AB ≡ y = (3*x + 8)/5
ha pendenza m = 3/5 e interseca Γ nelle soluzioni del sistema
* (y = (3*x + 8)/5) & (y = (x - 2)^2) ≡
≡ B(3/5, 49/25) oppure C(4, 4)
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La retta t tangente Γ in C deve:
* avere la stessa pendenza di Γ, m(4) = 2*(4 - 2) = 4; pertanto
* appartenere al fascio
** t(q) ≡ y = 4*x + q
* comprendere C(4, 4); da cui
** 4 = 4*4 + q ≡ q = - 12
** t ≡ t(- 12) ≡ y = 4*x - 12
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Dalla formula di sottrazione per la tangente
* tg(a - b) = (tg(a) - tg(b))/(1 + tg(a)*tg(b))
con
* θ = a - b ≡ angolo fra r e t
* tg(a) = 4
* tg(b) = 3/5
si ha
* θ = arctg((4 - 3/5)/(1 + 4*3/5)) =
= arctg(1) = 45° ≡
≡ θ = π/4
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http://www.wolframalpha.com/input?i=%5Bx%5E2%3D1-%28y-20%29%5E2%2Cy%3D%28x-2%29%5E2%2Cy%3D%283*x--8%29%2F5%2Cy%3D4*x-12%5Dx%3D-2to6%2Cy%3D-1to7
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