funzioni goniometriche

sin (p + q) = sin p cos q + cos p sin q

sin (p - q) = sin p cos q - cos p sin q

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2 sin p cos q = sin (p + q) + sin (p - q)

sin ax cos (ax - b) = 1/2 [ sin (2ax - b) + sin b ]

il periodo é solo quello della parte variabile

sin(wx + f) : pertanto

2pi/(2a) = 2pi

1/(2a) = 1

2a = 1

a = 1/2

e inoltre 1/2 [ sin(x - b) + sin b ] = 1 se x = pi

sin (pi - b) + sin b = 2

2 sin b = 2

sin b = 1

b = pi/2

y = 1/2 [ sin (x - pi/2) + sin pi/2 ] = 1/2 [ 1 - cos x ] = sin^2 (x/2)

il codominio va da 1/2 (1 - 1) a 1/2 (1 + 1) ovvero da 0 a 1

il minimo, 0, si ottiene per x = 0
il massimo, 1, si ottiene per x/2 = pi/2 => x = pi

y = SIN(α·x)·COS(α·x - β)

Bisogna considerare le formule di prostaferesi:

SIN(p) + SIN(q) = 2·SIN((p + q)/2)·COS((p - q)/2)

SIN(p) - SIN(q) = 2·COS((p + q)/2)·SIN((p - q)/2)

COS(p) + COS(q) = 2·COS((p + q)/2)·COS((p - q)/2)

COS(p) - COS(q) = - 2·SIN((p + q)/2)·SIN((p - q)/2)

Quindi, fra esse è la prima che permette di risolvere il problema posto in a)

1/2·(SIN(p) + SIN(q)) = SIN((p + q)/2)·COS((p - q)/2)

Per determinare p e q dobbiamo risolvere il sistema:

{(p + q)/2 = α·x

{(p - q)/2 = α·x - β

risolvendolo si ottiene: [p = 2·α·x - β ∧ q = β]

Quindi la funzione desiderata:

y= 1/2·(SIN(2·α·x - β) + SIN(β))

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Essa deve passare da: [pi, 1] ed avere periodoΤ = 2·pi

Per avere periodo 2·pi il coefficiente della x che appare nella formula deve essere pari ad 1, quindi:

 α = 1/2

y = SIN(x - β)/2 + SIN(β)/2

il passaggio dal punto dato comporta la scrittura:

1 = SIN(pi - β)/2 + SIN(β)/2

quindi soluzione: β = pi/2

y = SIN(x - pi/2)/2 + SIN(pi/2)/2

y = - COS(x)/2 + 1/2

y = (1 - COS(x))/2