Funzioni Esponenziali.

$ f(x) = (9-k^2)^{(k^2-k-6)x} $

a. è definita ∀x∈ℝ.

E' necessario che la base sia positiva, 

$ 9-k^2 > 0 ; ⇒ ; -3 < k < 3

.

b. è definita e strettamente crescente.

Vi sono due possibilità

b.1.  Base maggiore di 1 ed esponente positivo

⊳ Base maggiore di 1 $ ⇒ 9-k^2 \gt 1 \; ⇒ \; -2\sqrt{2} \lt k \lt  2\sqrt{2}$

notiamo che l'intervallo precedente è interno all'intervallo dove è definita. (vedi punto a.)   

⊳ Esponente positivo $k^2-k-6 \gt 0 \; ⇒ \; -3 \lt k \lt -2 ; \lor ; k \gt 3 $

dall'intersezione degli insiemi precedenti ricaviamo dove sono valide le due condizioni, cioè

$  -2\sqrt{2} \lt k \lt -2$

b.2.  Base maggiore di 0 e minore di 1 con esponente negativo

⊳ Base minore di 1 $ ⇒ 9-k^2 \lt 1 \; ⇒ \; k \lt -2\sqrt{2} \; \lor \; k \gt 2\sqrt{2}$

notiamo che la disequazione base maggiore di 0 è già inglobata nella verifica di dove è definita.     

⊳ Esponente negativo $k^2-k-6 \lt 0 \; ⇒ \; -2 \lt k \lt 3 $

dall'intersezione degli insiemi precedenti ricaviamo dove sono valide le due condizioni, cioè

$  2\sqrt{2} \lt k \lt 3$

.

c. definita e costante.

Sono due le diverse condizioni che rendono costante la funzione

c.1 base unitaria

$ 9 - k^2 = 1 \; ⇒ \; k = \pm2\sqrt{2} $

c.2  esponente nullo

$ k^2-k-6 = 0 \; ⇒ \; k = -2 \; \lor \; k = 3$

La soluzione k = 3 non è accettabile (la funzione li non è definita)

La soluzione k = -2 è l'unica valida.

d. Per k = 2 la funzione diventa $ f(x) = 5^{-4x}$

Il grafico lo puoi ricavare da Desmos.

Passiamo all'equazione

$ 6\cdot5^{1-2x}-125 = 5^{-4x}$

$ 5^{-4x} - 30\cdot5^{-2x} +125 = 0$

Poniamo $t = 5^{-2x}$

$ t^2 -30t +125 = 0 $ che ammette due soluzioni

1. $ t_1 = 25  \; ⇒ \; 5^{-2x} = 25 \; ⇒ \; x = -1 $
2. $ t_2 = 5  \; ⇒ \; 5^{-2x} = 5 \; ⇒ \; x = -\frac{1}{2} $