$ f(x) = a\cdot 2^x + b\cdot 2^{-x} + c $
a. f(x) displari ⇔ f(-x) = - f(x)
$ f(-x) = a\cdot 2^{-x} + b\cdot 2^{x} + c = - f(x) = - a\cdot 2^x - b\cdot 2^{-x} - c $
dall'uguaglianza segue che:
b. Essendo f(x) per ipotesi dispari allora la sua forma sarà del tipo
$ f(x) = a\cdot 2^x - a \cdot2^{-x} $
Imponiamo l'uguaglianza
$ f(2) = 4a - \frac{a}{4} = 15 $
$ f(2) = 16a - a = 15 \cdot 4 \; ⇒\; a = 4 $
per cui b = - 4 inoltre
$ f(x) = 4 ( 2^x - 2^{-x}) $
c.
f(x) = 0
$ 4 ( 2^x - \frac{1}{2^x}) = 0 \; ⇒ \; x = -x \; ⇒ \; x = 0 $
d. Punti in comuni con la retta y = 6
$ f(x) = 6$
$ 4 ( 2^x - 2^{-x}) = 6 $
$ 2\cdot 2^x - \frac{2}{2^x} -3 = 0 $
$ 2\cdot 2^{2x} - 3 2^x - 2 = 0 $
Poniamo t = 2ˣ
Le cui due soluzioni sono:
P(1, 6)