Funzioni Esponenziali.

$ f(x) = a\cdot 2^x + b\cdot 2^{-x} + c $

a.  f(x) displari ⇔ f(-x) = - f(x)

$ f(-x) = a\cdot 2^{-x} + b\cdot 2^{x} + c  = - f(x) = - a\cdot 2^x - b\cdot 2^{-x} - c $

dall'uguaglianza segue che:

• c = - c ⇒ c = 0
• a = -b ⇒ a+b = 0

b.  Essendo f(x) per ipotesi dispari allora la sua forma sarà del tipo 

$ f(x) = a\cdot 2^x - a \cdot2^{-x} $

Imponiamo l'uguaglianza

$ f(2) = 4a - \frac{a}{4} = 15 $

$ f(2) = 16a - a = 15 \cdot 4 \; ⇒\; a = 4 $

per cui b = - 4 inoltre

$ f(x) = 4 ( 2^x - 2^{-x}) $

c. 

• Dominio = ℝ. 
• Zeri

f(x) = 0

 $ 4 ( 2^x - \frac{1}{2^x}) = 0  \; ⇒ \; x = -x \; ⇒ \; x = 0 $

•  Segno
  • • f(x) < 0  per x < 0
    • f(x) = 0  per x = 0
    • f(x) > 0  per x > 0 

d.  Punti in comuni con la retta y = 6 

$ f(x) = 6$

$ 4 ( 2^x - 2^{-x}) = 6 $ 

$ 2\cdot 2^x - \frac{2}{2^x} -3 = 0 $

$ 2\cdot 2^{2x} - 3 2^x - 2 = 0 $

Poniamo t = 2ˣ

Le cui due soluzioni sono:

1.    $ t = -\frac{1}{2} \; ⇒ \; 2^x = -\frac{1}{2}$   Impossibile, da scartare.
2.    $ t = 2 \; ⇒ \; 2^x = 2 \; ⇒ \; x = 1 $ mentre y = 6.

P(1, 6)