Funzioni Esponenziali

Problema:

Considera la funzione $y=4^{-x}$.

(i) Traccia la curva $γ$ che rappresenta il grafico della funzione data.

(ii) Scrivi l'equazione della curva $γ'$, simmetrica di $γ$ rispetto alla retta di equazione $y=\frac{1}{2}$.

(iii) Determina le coordinate del punto di intersezione di $γ$ e $γ'$.

Soluzione:

(i) La curva del grafico può esser tracciata specchiando il grafico di $y=4^x$ rispetto l'asse delle ordinate, essa interseca l'asse delle ordinate in $(x,y)=(0,1)$.

(ii) Poiché la curva è simmetrica rispetto ad un asse parallelo all'asse delle ascisse è necessario capovolgerla moltiplicando i termini per $-1$, si ottiene dunque $y=-4^{-x}$, dato che così facendo la funzione non è ancora simmetrica rispetto l'asse $y=\frac{1}{2}$, è necessario traslarla di un vettore $\vec{v}=<0,1>$, ove $1=2y=2\cdot \frac{1}{2}$. Si ottiene dunque $γ': y= 1-4^{-x}$.

(iii) Il punto di intersezione tra le due funzioni è rintracciabile tramite la risoluzione del sistema tra esse: {$y=4^{-x}, y=1-4^{-x}$} $\rightarrow (x,y)=(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$. 

Il seguente grafico è stato realizzato tramite l'utilizzo dell'elaboratore grafico Desmos.