Data la funzione $y=\frac{a x^3+b x+c}{x}$, determina $a, b$ e $c$ in modo che il suo grafico abbia un punto di flesso di coordinate $(1,2)$ e che la tangente nel punto di flesso sia parallela alla bisttrice del primo e del terzo quadrante.
$$
\left[a=\frac{1}{3}, b=2, c=-\frac{1}{3}\right]
$$
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Livello 2
La funzione: y = (a·x^3 + b·x + c)/x
deve passare dal punto [1, 2] quindi:
2 = (a·1^3 + b·1 + c)/1
tale funzione ha derivate:
y' = (2·a·x^3 - c)/x^2
y'' = 2·(a·x^3 + c)/x^3
Per il flesso bisogna dire che:
2·(a·1^3 + c)/1^3 = 0
La bisettrice data ha equazione: y = x
quindi m = 1
Quindi l'informazione geometrica fornita dal testo induce a scrivere:
(2·a·1^3 - c)/1^2 = 1
Quindi complessivamente abbiamo un sistema lineare nelle tre incognite a,b, c:
{a + b + c = 2
{a + c = 0
{2·a - c = 1
che risolto fornisce: [a = 1/3 ∧ b = 2 ∧ c = - 1/3]
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Genius II
