Data la funzione $y=\frac{a x^2+b}{(x+c)^2}$, determina il valore del parametri $a, b, c$ in modo che la funzione abbia un $x=-\frac{1}{2} \mathrm{c}$ un asintoto orizzontale di equazione $y=3$.
$$
[a=3, b=-2, c=1]
$$
Data la funzione $y=\frac{a x^2+b}{(x+c)^2}$, determina il valore del parametri $a, b, c$ in modo che la funzione abbia un $x=-\frac{1}{2} \mathrm{c}$ un asintoto orizzontale di equazione $y=3$.
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[a=3, b=-2, c=1]
$$
3333
punti
Livello 2
Per avere asintoto orizzontale y = 3 occorre che risulti
lim_->oo (ax^2 + b)/(x^2 + 2cx + c^2) = a/1 = 3 => a = 3
y = (3x^2 + b)/(x + c)^2
y' = [6x(x+c)^2 - (3x^2 + b)*2(x+c)]/(x + c)^4 =
= [6x(x+c) - 2(3x^2 + b)]/(x+c)^3
6x^2 + 6cx - 6x^2 - 2b = 0 per x = -2/3
3cx - b = 0 per x = -2/3
-2c - b = 0 => b = -2c
Pertanto, riordinando,
y' = 6cx - 2(-2c)/(x + c)^3
y' = 2c * (3x + 2)/(x + c)^3
y'' = 2c * [3(x+c)^3 - (3x+2)*3(x+c)^2]/(x + c)^6 =
= 2c [3(x+c) - 3(3x+2)]/(x+c)^4
y''(-1/2) = 0
-6x + 3c - 6 = 0 per x = -1/2
3 + 3c - 6 = 0
3c = 6 - 3
c = 3/3 = 1
e infine b = -2c = -2
y = (3x^2 -2)/(x+1)^2
47613
punti
Livello 7