Considera la funzione $y=\frac{1}{2} x^2-\frac{4 a^3}{x}$.
a. Verifica che per ogni $a \in \mathbf{R}$, con $a \neq 0$, la funzione ha un punto di flesso.
b. Determina per quali valori di a la retta tangente al grafico della funzione nel suo punto di flesso passa per il punto di coordinate $(1,-3)$.
[a. Punto di flesso di coordinate $(2 a, 0)$;
b. $\left.a=-\frac{1}{2} \vee a=1\right]$
3281
punti
Livello 2
y = 1/2·x^2 - 4·a^3/x con x ≠ 0
ammette come prime due derivate:
y' = x + 4·a^3/x^2
y'' = 1 - 8·a^3/x^3
non definite per x=0 (come la funzione data). Quindi pongo y'':
y'' = (x - 2·a)·(x^2 + 2·a·x + 4·a^2)/x^3 = 0
ed ottengo: x = 2·a
Quindi in corrispondenza di tale valore si ha un punto di flesso per la funzione assegnata purché sia a ≠ 0
(quindi infiniti) in quanto per x=0 la funzione non è definita.
Per tale valore di a la funzione vale:
y = 1/2·(2·a)^2 - 4·a^3/(2·a)----> y = 0
Quindi i punti di flesso si hanno sull'asse x con esclusione dell'origine.
Determiniamo la retta passante per i due punti:
[2·a, 0] punto di flesso
[1, -3]
(y - 0)/(x - 2·a) = (-3 - 0)/(1 - 2·a)
y/(x - 2·a) = 3/(2·a - 1)
quindi:
y = 3·x/(2·a - 1) - 6·a/(2·a - 1)
coefficiente angolare: m = 3/(2·a - 1)
tale coefficiente angolare deve essere pari al valore della derivata prima in x=2a:
f'(2a)=2·a + 4·a^3/(2·a)^2 = 3·a
Per quanto detto:
3/(2·a - 1) = 3·a con a ≠ 1/2
3·a·(2·a - 1) - 3 = 0
6·a^2 - 3·a - 3 = 0---> 3·(a - 1)·(2·a + 1) = 0
per cui: a = - 1/2 ∨ a = 1
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Genius II
