Funzioni composte

f(x) = √(x^2 - 4·x) - x

ha C.E.:

x^2 - 4·x ≥ 0---> x ≤ 0 ∨ x ≥ 4

Dovrà quindi risultare per il calcolo del C.E. della funzione composta:

fof(x)----> √(x^2 - 4·x) - x ≤ 0 ∨ √(x^2 - 4·x) - x ≥ 4

quindi unire le soluzioni di due disequazioni irrazionali:

la prima fornisce: x = 0 ∨ x ≥ 4

la seconda fornisce: x ≤ - 4/3

quindi: x ≤ - 4/3 ∨ x = 0 ∨ x ≥ 4

Ti dico cosa devi fare ma lascio i calcoli a te.

In accordo alla definizione di funzione composta 

i valori assunti da f devono ricadere nel suo dominio 

per consentire di applicarla un'altra volta per cui

essendo Df dato da x<= 0 e x>= 4 devi porre 

√x^2-4x - x <= 0 v √x^2-4x >=4 

e unire i sottoinsiemi di R che ne risultano.

1. Il dominio di f(x) = (-∞, 0] U [4, +∞)

2. La funzione $ f \circ f(x) = \sqrt{f^2(x) - 4f(x)} - f(x) $.

3. Nel calcolo del dominio di f◦f(x) occorre imporre il vincolo del radicando positivo, cioè

$ f^2(x) \ge 4 \cdot f(x) $

Risolviamo questa disequazione.

2.1 SE  f(x) > 0,  cioè $\sqrt{x^2-4x} \ge x \; ⇒ \; x < 0$

ALLORA, semplificando f(x) avremo f(x) ≥ 4

$ \sqrt{x^2-4x} \ge x + 4 $

$ -12x \ge 16 $

$ x \le -\frac{4}{3} $

Osserviamo che tale risultato limiterà l'intervallo (-∞, 0]

2.2 SE  f(x) ≤ 0 cioè $\sqrt{x^2-4x} \ge x \; ⇒ \; x \ge 0$

ALLORA, semplificando f(x) avremo f(x) ≤ 4

$ \sqrt{x^2-4x} \le x + 4 $

$ -12x \le 16 $

$ x \ge -\frac{4}{3} $

La soluzione di questo caso è x ≥ 0

Conclusione. Per ottenere il risultato finale non rimane altro che intersecare quanto trovato nei punti 2.1 e 2.2 con il dominio di f(x), così si ha

Dominio f◦f(x) = (-∞, -4/3] U {0} U [4, +∞) ovvero x ≤ -4/3 V x = 0 V x ≥ 4