È assegnata la funzione $f(x)=\frac{2}{x-1}+1$ :
a. trova il dominio e l'insieme immagine di $f$;
b. dimostra che $f$ è invertibile e trova $f^{-1}$ verificando che $f^{-1}=f$;
c. trova $f(2)$ e le controimmagini di 3 e -6 ;
d. calcola $(f \circ f)(x)$ e risolvi la disequazione $(f \circ f)(x)+f(2 x)>1$.
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Livello 0
I vostri professori sono proprio accaniti oggi.
a) e b) Il dominio é R - {1}.
Per determinare l'insieme immagine cominciamo a rilevare che se
1 + 2/(x1 - 1) = 1 + 2/(x2 - 1)
2/(x1 -1) = 2/(x2 - 1)
x1 - 1 = x2 - 1
x1 = x2
La funzione é iniettiva e quindi invertibile. Risulta
y - 1 = 2/(x-1)
(x - 1) = 2/(y - 1)
x = 1 + 2/(y - 1)
L'inversa é y = 2/(x-1) + 1 e coincide con la f. Questa é dunque INVOLUTIVA
e il suo insieme immagine ( dominio dell'inversa ) é ancora R - {1}.
c) f(2) = 1 + 2/(2-1) = 3
controimmagine di 3 : x3 = 1 + 2/(3-1) = 2
controimmagine di -6 x(-6) = 1 + 2/(-6-1) = 5/7
d) f[f(x)] = 1 + 2/[1 + 2/(x-1) - 1] =
= 1 + 2/(2/(x-1)) = 1 + x - 1 = x per x =/= 1
x + 1 + 2/(2x-1) > 1
x + 2/(2x - 1) > 0
(2x^2 - x + 2)/(2 x - 1) > 0
N > 0 sempre perché il delta é negativo
x > 1/2
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Livello 7
