E' data la funzione $f(x)=-e^{|x|-x}-2$.
a. Trova il dominio, l'insieme immagine e il segno di $f(x)$.
b. Disegna il grafico di $f(x)$ e di $|f(x)|$.
c. Opera una restrizione del dominio in modo che $f(x)$ sia invertibile e trova $f^{-1}(x)$ graficamente e algebricamente.
3
punti
Livello 0
Sviluppando il modulo
{y = -e^0 -2 = -3 per x>=0
{y = -e^(-2x) -2 per x<0
Dominio: R, non ci sono singolarità o condizioni di esistenza da porre.
Per x<= 0 si ha e^(-2x) >=1 --> -e^(-2x) <=-1. Per x<=0 --> y<-3 e per x>=0 --> y<=-3
Quindi l'insieme immagine risulta y<=-3. In più è sempre negativa nel dominio di definizione ( somma di funzioni negative).
Grafici:
Perchè si possa invertire la funzione deve essere sia iniettiva che suriettiva. Nel tratto x>=0 la funzione non è iniettiva quindi bisogna valutare x<0. In questo caso la funzione è monotona decrescente strettamente quindi si può invertire.
y = -e^(-2x) -2 , x = -e^(-2y) -2 , -(x+2) =e^(2y), ln(-x-2) = 2y, y = 1/2 * ln(-x-2)
f^-1(x) = 1/2 * ln(-x-2) per x<0
3523
punti
Livello 5
