Considera la funzione y = (ax +b) /x^2
con a e b numeri reali. Trova a e b in modo che il grafico passi per il punto
P (-1; 2) e in esso abbia tangente parallela alla retta r di equazione y = 5x.
Mostra che le ascisse dei punti in cui la tangente al grafico è perpendicolare a r sono soluzioni dell’equazione x^3 - 5x + 30 =0
249
punti
Livello 1
Parte prima
Riscriviamo y come a/x + b/x^2 con x =/= 0
e la sua derivata é
y' = -a/x^2 - 2b/x^3
Imponendo le condizioni espresse dal problema
y(-1) = 2 e y'(-1) = 5
si ottiene il sistema
{ 2 = a/(-1) + b/1
{ 5 = - a/1 - 2b/(-1)
che si riscrive
{ - a + b = 2
{ -a + 2b = 5
per differenza b = 3 e a = b - 2 = 3 - 2 = 1
Quindi y = (x + 3)/x^2
e la tangente in P ha equazione
y - 2 = 5 (x - 1) => y = 5x + 7
Verifica grafica
https://www.desmos.com/calculator/b42vp3wpoq
Parte seconda
Il coefficiente angolare della tangente in x =/= 0 é espresso da
y' = - a/x^2 - 2b/x^3 = -1/x^2 - 6/x^3
mentre
m' = -1/m = -1/5.
Imponendo l'uguaglianza
-1/x^2 - 6/x^3 = -1/5
moltiplicando per -5x^3
5x + 30 = x^3
x^3 - 5x - 30 = 0
e questo accade per
https://www.desmos.com/calculator/u4ouzi77gn
x ~ 3.639.
45561
punti
Livello 7
y = (a·x + b)/x^2
2 = (a·(-1) + b)/(-1)^2
2 = b - a (passaggio per P(-1,2))
retta parallela per P tangente alla funzione: y = 5·x --> m = 5
y'=dy/dx=- (a·x + 2·b)/x^3
in P:
- (a·(-1) + 2·b)/(-1)^3 = 5---> 2·b - a = 5Metto a sistema:
{2 = b - a
{2·b - a = 5
Risolvo ed ottengo: [a = 1 ∧ b = 3]
Funzione: y = (x + 3)/x^2
90143
punti
Genius II
