[Risolto] Funzioni

La funzione f(x) - 4x² - 4x + 3 è una funzione razionale intera (polinomiale) il cui grafico è una parabola concava.

Punti caratteristici sono:

• Vertice. V(-1/2, 4)
• Zeri.
  • x = -3/2
  • x = 1/2
• Asse di simmetria. x = -1/2

La funzione f(x) è definita, continua e derivabile in tutto ℝ.

Si può dimostrare che f(x) ammette:

-) il massimo assoluto in V(-1/2, 4)

-) non ammette punti di minimo ma, Inf f(x) = -∞.

.

1. Immagine f(x).

Per il teorema dei valori intermedi generalizzato (IVT) la funzione assumerà tutti i valori compresi tra l' Inf f(x) e il valore massimo. 

Immagine f(x) = (-∞, 4]

.

     2. $ c \in [-1,1]$

Facciamo riferimento al grafico e in particolare all'intervallo [-1, 1] che giace sull'asse x. Osserviamo che:

-) f(c) = 3 per c = -1

-) f(c) = 4 per c = -1/2

-) f(c) = -5 per c = 1

quindi il valore minimo di f(c) è proprio -5 che si ottiene per c = 1; quindi

per c = 1 avremo 

$ f(c) = -5 \le f(x); \quad \forall x \in [-1,1]$

Il grafico della funzione
* Γ ≡ f(x) = y = - 4*x^2 - 4*x + 3 ≡
≡ y = - 4*(x + 3/2)*(x - 1/2) ≡
≡ y = 4 - 4*(x + 1/2)^2
è la parabola con
* zeri per x ∈ {- 3/2, 1/2}
* asse di simmetria x = - 1/2
* vertice V(- 1/2, 4)
* apertura a = - 4 < 0, quindi concavità rivolta verso y < 0
pertanto ha immagine dal vertice in giù: y <= 4 (primo quesito).
Il secondo quesito chiede il minimo assoluto (c, f(c)) nell'intervallo [- 1, 1] che, ovviamente, dev'essere in (1, - 5) dal momento che l'asse di simmetria è più vicino all'altro estremo.