Ciao!

Come abbiamo visto anche nell'altro esercizio, per il dominio dobbiamo studiare $denominatore \neq 0$ quindi

$x^2-x \neq 0 \ \Rightarrow x(x-1) \neq 0 \Rightarrow x \neq 0 \vee x \neq 1 $

quindi il dominio è: $(-\infty, 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty) $

Per l'intersezione con l'asse $x$ dobbiamo fare l'intersezione con la retta $ y = 0$, ovvero dobbiamo risolvere l'equazione:

$\frac{x^2-7x}{x^2-x} = 0 $

che coincide con la risoluzione di $x^2 - 7x = 0 $ e ci dà

$x = 0 $ (non accettabile! Non è nel dominio) e $x = 7 $ (accettabile)

quindi l'intersezione con l'asse $x$ avviene nel punto $(7; 0 ) $

per quanto riguarda l'intersezione con l'asse $y$, dato che ha equazione $x = 0$, non è mai possibile perché $x = 0$ è escluso dal dominio, quindi la funzione non potrà mai intersecare l'asse $y$.

Per lo studio delle simmetrie, mettiamo $ -x$ nella funzione:

$\frac{(-x)^2-7(-x)}{(-x)^2-(-x)} = \frac{x^2+7x}{x^2+x} $

che non è la funzione di partenza (quindi non è pari) e moltiplicandola per $-1$ non riusciamo a ottenere la funzione di partenza (quindi non è dispari). La funzione non è nè pari nè dispari.

Studiamo il segno risolvendo $\frac{x^2-7x}{x^2-x} \geq 0 $ e studiando separatamente numeratore e denominatore:

$N \geq 0 \Rightarrow x^2-7x \geq 0 $ che ci dà $ x \leq 0 \vee x \geq 7 $

$D > 0 \Rightarrow x^2-x > 0 $ che ci dà $ x < 0 \vee x > 1 $

facendo il grafico dei segni:

________________0_______1______7_______

N:              +                 -            -             +

D:             +                  -             +            +

________________________________________

                  +                +             -                +    

quindi la funzione è positiva nell'intervallo $(-\infty; 0) \cup (0; 1) \cup (7: +\infty) $

e negativa nell'intervallo $(1;7)$