Il grafico di $f(x)=a \log _2(x+b)$ passa per l'origine e per il punto $(3 ; 4)$.
a. Calcola $a$ e $b$ e rappresenta il grafico di $f(x)$.
b. Risolvi analiticamente e graficamente la disequazione $2 \log _2(x+1) \geq 3-\log _{\frac{1}{2}} x$.
potete aiutarmi con questo esercizio?
7
punti
Livello 0
La famiglia di funzioni
* f(x, a, b) = y = a*log(2, x + b)
ha due parametri; perciò per individuare una singola funzione occorrono due vincoli, quanti ne dà l'esercizio 84: l'appartenenza di O(0, 0) e di P(3, 4).
* f(x, 0, 0) = 0 = a*log(2, 0 + b)
* f(x, 3, 4) = 4 = a*log(2, 3 + b)
da cui il sistema risolutivo e la singola funzione richiesta
* (a*log(2, b) = 0) & (a*log(2, 3 + b) = 4) ≡ (a = 2) & (b = 1)
* f(x) = y = 2*log(2, x + 1)
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La presenza della diseguaglianza d'ordine impone la realtà dei logaritmi.
* (x + 1 > 0) & (x > 0) ≡ x > 0
* (2*log(2, x + 1) >= 3 - log(1/2, x)) & (x > 0) ≡
≡ (2*log(2, x + 1) + log(1/2, x) >= 3) & (x > 0) ≡
≡ (log(2, (x + 1)^2) - log(2, x) >= 3) & (x > 0) ≡
≡ (log(2, (x + 1)^2/x) >= 3) & (x > 0) ≡
≡ (2^log(2, (x + 1)^2/x) >= 2^3) & (x > 0) ≡
≡ ((x + 1)^2/x >= 8) & (x > 0) ≡
≡ ((x + 1)^2 - 8*x >= 0) & (x > 0) ≡
≡ (x^2 - 6*x + 1 >= 0) & (x > 0) ≡
≡ ((x <= 3 - 2*√2) oppure (x >= 3 + 2*√2)) & (x > 0) ≡
≡ (0 < x <= 3 - 2*√2) oppure (x >= 3 + 2*√2)
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Genius I
Imponendo la condizione di appartenenza dell'origine O alla funzione si ricava il valore del parametro b=1
Imponendo la condizione di appartenenza del punto (3;4) si ricava il valore del parametro a =2
Dopo aver eseguito il cambio di base
log(1/2,x) = - log(2,x)
la disequazione può essere scritta in modo equivalente:
log(2, [(x+1)²/x]) >= 3, x>0 (Insieme di definizione in R)
(x+1)²/x>=8, x>0
La disequazione è verificata se:
0<x<=3-2*radice (2) v x>=3+2*radice (2)
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Genius II
