Funzione invertibili

La funzione:

y = 1 + TAN(x)

si ottiene dalla TAN(x) che nell'intervallo - pi/2 < x < pi/2 ammette la funzione inversa :

y= ATAN(x)

Questo perché nell'intervallo dato risulta sempre crescente. Anche la funzione in esame ammette nello stesso intervallo la funzione inversa per lo stesso motivo in quanto si ottiene per traslazione verticali di una unità da quella trigonometrica più nota.

Quindi operi le seguenti sostituzioni:

x--->y

y--->x

x = 1 + TAN(y)

risolvi rispetto ad y ed ottieni la funzione inversa: y^(-1) = ATAN(x - 1)

La funzione f(x) = 1 + tg x é invertibile in quell'intervallo perché soddisfa una

condizione sufficiente : é strettamente crescente.

Una funzione strettamente crescente o decrescente deve essere iniettiva

perché non può tornare ad un valore già assunto.

La funzione inversa é la composta delle inverse in ordine inverso

1 + tg x = y

tg x = y - 1

x = arctg*(y - 1)

y = arctg*(x-1)

I due grafici sono legati dalla proprietà che sono uno il simmetrico dell'altro

rispetto alla bisettrice del I e III quadrante, y = x.

Nota

f(x) = 1 + tg x é invertibile nell'intervallo considerato perché

se y1 = y2

1 + tg x1 = 1 + tg x2

tg x1 = tg x2

x2 = x1 + k pi, k in Z

e se devono appartenere entrambi a ]-pi/2, pi/2[

deve risultare necessariamente k = 0 e

x2 = x1.

Grafico che illustra la situazione complessiva

https://www.desmos.com/calculator/0pqw49i3fi

\[f(x) = 1 + \tan{x} \mid \,\exists \tan^{-1}{x} \quad \forall x\in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \quad \text{in quanto}\]

\[\forall \psi, \phi\in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \quad f(\psi) = f(\phi) \iff \psi = \phi \quad \text{(condizione di iniettivita')}\,.\]

Dunque

\[\tan{x} = y - 1 \iff x = \arctan{(y - 1)} \implies y = \arctan{(x - 1)} = f(x)^{-1}\,.\]

Lo stabilisci esplicitando x, o qual che sia la variabile indipendente: se l'espressione che ottieni è una funzione allora essa è l'inversa di quella data.