Sia $f:[0,+\infty[\rightarrow[0,+\infty[$ la funzione reale di una variabile reale definita dalla legge
$$
f(x)=x+\arctan \sqrt{x\left(x^2+1\right)}
$$
Provare che $f$ è invertibile e, denotata con $f^{-1}$ la sua funzione inversa, dimostrare che $f^{-1}$ è derivabile nel punto $y_0=1+\arctan \sqrt{2}$ e calcolare $\left(f^{-1}\right)^{\prime}(1+\arctan \sqrt{2})$
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Livello 0
Parte prima : la funzione é invertibile perché strettamente crescente, essendo somma di funzioni strettamente crescenti.
Per togliere qualsiasi dubbio,
il radicando é il prodotto di due funzioni strettamente crescenti e positive nell'intervallo indicato e così é anch'essa strettamente crescente e positiva. Inoltre la radice quadrata e l'arcotangente sono strettamente crescenti.
Per la parte seconda, detta u la funzione inversa che non é esplicitabile,
conviene partire dall'uguaglianza
u [ x + arctg (rad(x^3 + x)) ] = x che definisce la funzione inversa
derivare rispetto a x
u' [ x + arctg (rad(x^3 + x)) ] * (1 + 1/(1 + x^3 + x)*(3x^2 + 1) = 1
e porre x = 1
u'(1 + arctg rad(2)) * (1 + 1/3 * 4) = 1
si trova subito
u'(1 + arctg rad(2)) = 1 : 7/3 = 3/7
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Livello 7
