Data la funzione f(x, y) = x⁴ - x²y² + 2y², determinare la natura del punto critico (0, 0).
Il gradiente della funzione si annulla nell'origine e la funzione ha hessiano nullo nell'origine. Non so come determinare la natura di (0, 0). Mi verrebbe da dire che potrebbe essere un punto di minimo relativo, ma non saprei come dimostrarlo
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Livello 1
$ f(x,y) = x^4-x^2y^2 +2y^2$
un unico punto critico.
Matrice Hessiana
$ H_{(x,y)} \begin{pmatrix} 12x^2-2y^2 & -4xy\\ -4xy & 4-x^2 \end{pmatrix}$
da cui
$H_{(0,0)} = 0$
che peccato.
Verifichiamo la tua intuizione dimostrando che in un intorno dell'origine la funzione assume valori positivi.
intanto f(0,0) = 0
riscriviamo la funzione nella forma
$f(x,y) = x^4 + y^2(2-x^2)$
Osserviamo che:
-) x^4 è un termine positivo, salvo l'origine.
-) y^2 è un fattore positivo salvo l'origine
-) (2-x^2) è un fattore positivo per ogni x ∈ (-√2, √2)
quindi
$f(x,y) = x^4 + y^2(2-x^2) \gt 0; \quad \forall x ∈ (-√2, 0) \cup (0, √2) \land \, \forall y ∈ ℝ $
possiamo concludere che O(0,0) è un minimo locale.
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Livello 3
@cmc ho capito, grazie mille
z = x^4 - x^2·y^2 + 2·y^2
pongo: y = m·x
z = x^4 - x^2·(m·x)^2 + 2·(m·x)^2
z = x^4·(1 - m^2) + 2·m^2·x^2
Z''x=12·x^2·(1 - m^2) + 4·m^2
per x=0:
12·0^2·(1 - m^2) + 4·m^2 = m^2
Minimo relativo
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Genius II
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Genius I
Poiché il gradiente
\[\nabla f(x,y) = \left(\frac{\partial{f}}{\partial{x}}, \frac{\partial{f}}{\partial{y}} \right) \quad \text{tale che}\]
\[\frac{\partial{f}}{\partial{x}} = 4x^3 - 2xy^2 \:\Bigg|_{\substack{x = 0}} = 0\]
\[\frac{\partial{f}}{\partial{y}} = -2x^2y + 4y \:\Bigg|_{\substack{y = 0}} = 0\,,\]
allora $(0,0)$ è un punto critico.
La matrice Hessiana
\[\mathcal{H} = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2{f}}{\partial{x^2}} & \frac{\partial^2{f}}{\partial{x} \partial{y}} \\ \frac{\partial^2{f}}{\partial{y} \partial{x}} & \frac{\partial^2{f}}{\partial{y^2}} \end{pmatrix}\]
calcolata in tale punto non è definita positiva o negativa, ergo non si può concludere la natura di tale punto critico.
Se consideri tale funzione a due variabili sviluppata con Taylor nell'intorno circolare di $(0,0)\,$, puoi dimostrare che essa è definita positiva in tale regione topologica, studiandone il segno, e nulla nel punto stesso, dimostrando che sia un minimo relativo.
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Livello 5
@enrico_bufacchi nella circonferenza di centro nell'origine e raggio 1 risulta la funzione non negativa, quindi la circonferenza di centro l'origine e raggio 1 è l'intorno cercato.
