Data la funzione $f(x)=\left(a x^2+b\right) e^{c x^2-1}$, determina per quali valori dei parametri $a, b$ e $c$ il suo grafico passa peri punti $\left(0,-\frac{2}{e}\right),(1,0)$ e $\left(2,6 e^7\right)$. In seguito determina i punti di intersezione tra la curva trovata equelle aventi le equazioni seguenti:
a. $y=4 e^{2 x^2-1}$
b. $y=2 x^2-2$
$$
\left[a=2, b=-2, c=2 ; \text { a. }\left( \pm \sqrt{3}, 4 c^5\right) ; \text { b. }( \pm 1,0),\left( \pm \frac{\sqrt{2}}{2},-1\right)\right]
$$
2829
punti
Livello 2
y = (a·x^2 + b)·e^(c·x^2 - 1)
{- 2/e = (a·0^2 + b)·e^(c·0^2 - 1)
{0 = (a·1^2 + b)·e^(c·1^2 - 1)
{6·e^7 = (a·2^2 + b)·e^(c·2^2 - 1)
esprimono il passaggio della funzione per i punti:
[0, - 2/e] ; [1, 0] ; [2, 6·e^7]
{b = -2
{a·e^c + b·e^c = 0
{4·a·e^(4·c) + b·e^(4·c) = 6·e^8
Risolvo ed ottengo: a = 2 ∧ b = -2 ∧ c = 2
y = (2·x^2 + -2)·e^(2·x^2 - 1)
y = 2·e^(2·x^2 - 1)·(x^2 - 1)
----------------------------------
{y = 2·e^(2·x^2 - 1)·(x^2 - 1)
{y = 4·e^(2·x^2 - 1)
quindi: 2·e^(2·x^2 - 1)·(x^2 - 1) - 4·e^(2·x^2 - 1) = 0
2·e^(2·x^2 - 1)·(x^2 - 3) = 0
x^2 - 3 = 0---> x = - √3 ∨ x = √3
x = - √3 :
y = 4·e^(2·(- √3)^2 - 1)---> y = 4·e^5
x = √3 : y = 4·e^5
[± √3, 4·e^5]
---------------------------------
{y = 2·e^(2·x^2 - 1)·(x^2 - 1)
{y = 2·x^2 - 2
quindi:
2·e^(2·x^2 - 1)·(x^2 - 1) - (2·x^2 - 2) = 0
2·e^(-1)·(x + 1)·(x - 1)·(e^(2·x^2) - e) = 0
x = - √2/2 ∨ x = √2/2 ∨ x = -1 ∨ x = 1
x = - √2/2:
y = 2·(- √2/2)^2 - 2---> y = -1
x = √2/2 : y = -1
x = -1:
y = 2·(-1)^2 - 2---> y = 0
x = 1 : y = 0
Quindi:
[±√2/2, -1] ; [±1, 0]
92404
punti
Genius II
