Sia Ω lo spazio degli eventi del lancio di due dadi a sei facce distinguibili e sia X : Ω → ℕ la variabile aleatoria che misura il prodotto dei due dadi: X(i,j) = i⋅j. Supponendo che i due dadi a sei facce distinguibili non siano truccati, determinare la funzione di distribuzione della variabile aleatoria X.
400
punti
Livello 1
Questo esercizio é lungo e scocciante ma non é difficile
1 (11) 1/36
2 (12) (21) 2/36 = 1/18
3 (13) (31) 2/36 = 1/18
4 (14) (22) (41) 3/36 = 1/12
5 (15) (51) 2/36 = 1/18
6 (16) (23) (32) (61) 4/36 = 1/9
7 - 0
8 (24) (42) 2/36 = 1/18
9 (33) 1/36
10 (25) (52) 2/36 = 1/18
11 - 0
12 (26) (34) (43) (62) 4/36 = 1/9
13 - 0
14 - 0
15 (35) (53) 2/36 = 1/18
16 (44) 1/36
17 - 0
18 (36) (63) 2/36 = 1/18
19 - 0
20 (45) (54) 2/36 = 1/18
21 - 0
22 - 0
23 - 0
24 (46) (64) 2/36 = 1/18
25 (55) 1/36
26 - 0
27 - 0
28 - 0
29 - 0
30 (56) (65) 2/36 = 1/18
31 - 0
32 - 0
33 - 0
34 - 0
35 - 0
36 (66) 1/36
45530
punti
Livello 7
@eidosm si grazie Eidos, infatti ho seguito il tuo stesso ragionamento calcolando le probabilità come hai fatto tu. Se la volessi definire formalmente la funzione di distribuzione, cosa dovrei scrivere?
Quella tabella é più che sufficiente. Infatti una variabile aleatoria discreta, ed in particolare finita, é totalmente individuata da due colonne : i valori che può assumere e le loro probabilità. La conoscenza di queste due classi di informazioni permette di determinare la probabilità di qualsiasi evento associato alla variabile X.
@eidosm da quello che ho visto nella teoria la funzione di distribuzione ha come dominio l'insieme dei numeri reali, sto provando a formalizzare il tutto e fra poco lo posto
Puoi guardarti questo e divertirti a piacimento
https://it.wikipedia.org/wiki/Variabile_casuale
ma ti sconsiglio di adottare un approccio troppo astratto perché di fatto per le vc discrete funziona in modo semplice.
Data la finitezza e la bassa cardinalità di Ω adotto la risoluzione per tabulas (non le XII delle leges!).
Nel formato {a*b, a, b} si ha
* X(Ω) = {{1, 1, 1}, {2, 1, 2}, {3, 1, 3}, {4, 1, 4}, {5, 1, 5}, {6, 1, 6}, {2, 2, 1}, {4, 2, 2}, {6, 2, 3}, {8, 2, 4}, {10, 2, 5}, {12, 2, 6}, {3, 3, 1}, {6, 3, 2}, {9, 3, 3}, {12, 3, 4}, {15, 3, 5}, {18, 3, 6}, {4, 4, 1}, {8, 4, 2}, {12, 4, 3}, {16, 4, 4}, {20, 4, 5}, {24, 4, 6}, {5, 5, 1}, {10, 5, 2}, {15, 5, 3}, {20, 5, 4}, {25, 5, 5}, {30, 5, 6}, {6, 6, 1}, {12, 6, 2}, {18, 6, 3}, {24, 6, 4}, {30, 6, 5}, {36, 6, 6}}
da cui il multiset dei valori di X
* X = {1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 8, 8, 9, 10, 10, 12, 12, 12, 12, 15, 15, 16, 18, 18, 20, 20, 24, 24, 25, 30, 30, 36}
e la richiesta funzione di distribuzione, nel formato {X, conto}
* f(X) = {{1, 1}, {2, 2}, {3, 2}, {4, 3}, {5, 2}, {6, 4}, {8, 2}, {9, 1}, {10, 2}, {12, 4}, {15, 2}, {16, 1}, {18, 2}, {20, 2}, {24, 2}, {25, 1}, {30, 2}, {36, 1}}
-----------------------------
Tutto ciò con tre soli comandi di WolframAlpha
flatten[table[{a*b, a, b},{a,1,6},{b,1,6}],1]
sort[flatten[table[a*b,{a,1,6},{b,1,6}],1]]
tally[sort[flatten[table[a*b,{a,1,6},{b,1,6}],1]]]
57171
punti
Genius I
@exprof grazie, sto scrivendo la funzione di distribuzione utilizzando la definizione, appena finisco posto tutto
@exprof l'ho definita in questo modo
@apprentus
Sono d'accordo sull'idea di dividere per trentasei le frequenze trovate da me: sono stato grossolano e frettoloso, scusa.
Però non sono affatto d'accordo sull'idea di definire intervalli su uno spazio discreto. Trovo proprio scorretto concettualmente ragionare come se si fosse nel continuo.
@exprof capisco il tuo disappunto. Ho proceduto in questa maniera facendo riferimento a questo file qui che ho trovato su internet
