Risolvo sino al punto a)
y = (a·x^3 + b·x^2 + c·x + d)/x^2
Retta tangente
per 2 punti: [0, -1] e [3, 5]
(y + 1)/(x - 0) = (5 + 1)/(3 - 0)---> (y + 1)/x = 2
quindi: y = 2·x - 1
per x=1 la retta passa per y = 2·1 - 1----> y = 1
quindi per [1, 1] per tale punto passa anche la funzione in esame.
La funzione in esame passa poi anche da [-1, 5] in base alla figura assegnata.
Quindi possiamo scrivere già due equazioni:
{1 = (a·1^3 + b·1^2 + c·1 + d)/1^2
{5 = (a·(-1)^3 + b·(-1)^2 + c·(-1) + d)/(-1)^2
Dobbiamo calcolare poi le prime due derivate:
y'= (a·x^3 - c·x - 2·d)/x^3
y'' = 2·(c·x + 3·d)/x^4
che forniscono due ulteriori equazioni.
{(a·1^3 - c·1 - 2·d)/1^3 = 2 (significato geometrico di derivata)
{2·(c·1 + 3·d)/1^4 = 0 (condizione per il punto di flesso)
Risolvo quindi il sistema:
{a + b + c + d = 1
{a - b + c - d = -5
{a - c - 2·d = 2
{c + 3·d = 0
ed ottengo: [a = 1 ∧ b = 2 ∧ c = -3 ∧ d = 1]
quindi la funzione: y = (x^3 + 2·x^2 - 3·x + 1)/x^2