Ciao a tutti,
Qualcuno potrebbe gentilmente dirmi: ipunti di discontinuità e la concavità della seguente funzione.
y= x-2/x+4
Ciao a tutti,
Qualcuno potrebbe gentilmente dirmi: ipunti di discontinuità e la concavità della seguente funzione.
y= x-2/x+4
Ciao!
Se la funzione è $ \frac{x-2}{x+4} $ il grafico nella foto è solo un pezzo! ce n'è un'altro simmetrico prima di $x = -4 $
comunque, analiticamente il dominio è $denominatore \neq 0 $:
$x \neq -4 $
quindi il dominio è $(-\infty; -4) \cup (-4; +\infty)$.
Infatti nel grafico l'unico punto "in cui non c'è la funzione" è proprio $x = -4$, dove c'è un asintoto verticale, che è l'unico punto di discontinuità.
La concavità invece è positiva per $ x < -4 $ (perché fa una "conca") mentre è negativa per $x > -4 $ (perchè fa un "arco").
Analiticamente bisogna studiare il segno della derivata seconda:
$f'(x) = \frac{2}{(x+4)^2} $
$f''(x) = \frac{-4}{(x+4)^3}$
Studiamo il segno: $\frac{-4}{(x+4)^3} > 0 $
studiamo separatamente numeratore (N) e denominatore (D)
$N > 0 $ $-4 > 0 $ mai
$D > 0$ $(x+4)^3 > 0 $ $x+4 > 0 $ $x > -4 $
facciamo il grafico di segno:
____ -4 _______
N: - -
D: - +
___________________
+ -
Quindi la funzione ha concavità positiva quando $ x < -4 $ cioè nell'intervallo $(-\infty; -4)$ e la concavità è negativa per $x > -4$, cioè nell'intervallo $ (-4; + \infty)$
@pazzouomo Potresti dirmi anche crescenza e decrescenza per favore
Certo!
Crescenza e decrescenza si ottengono studiando il segno della derivata prima:
$f'(x) = \frac{2}{(x+4)^2} \geq 0 $
separiamo numeratore e denominatore:
$N\geq 0$ $ 2 > 0 $ sempre vero
$D > 0$ $(x+4)^2 > 0$ sempre vero, tranne quando $x \neq -4 $
__________________ -4 ____________
N: + +
D: + +
________________________________
+ +
quindi la funzione è sempre crescente. Gli intervalli di crescenza sono: $(-\infty; -4) \cup (-4; + \infty)$
anche dal grafico si può notare che la funzione cresce, arriva a -4 dove ha asintoto verticale, e riparte "dal basso" a partire da -4 e ricomincia a crescere.