264 Dimostra che la funzione f(x) = - 2x + 1 è stretta- mente decrescente in R.
potete risolverla applicando la definizione di funzione strettamente decrescente e spiegando i passaggi (quindi no calcoli di derivate ecc)
264 Dimostra che la funzione f(x) = - 2x + 1 è stretta- mente decrescente in R.
potete risolverla applicando la definizione di funzione strettamente decrescente e spiegando i passaggi (quindi no calcoli di derivate ecc)
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Livello 1
Supponiamo per assurdo che esistono due numeri reali tali che $x_1 > x_2$ mentre
$f(x_1) \ge f(x_2)$ cioè non è strettamente decrescente
$ -2x_1 + 1 \ge -2x_2 + 1$
$ -2x_1 \ge -2x_2$
$ -x_1 \ge -x_2$
$ x_2 \ge x_1$
ma questa affermazione contrasta con l'ipotesi fatta $x_1 > x_2$.
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Livello 5
@cmc grazie mi puoi aiutare anche con
Dimostra che la funzione f(x) = 2x ^ 3 + 1 è stretta- mente crescente in R.
Strettamente crescente significa che per ogni generica copia di valori reali x₁, x₂ con
x₁ > x₂ allora f(x₁) > f(x₂).
Supponiamo per assurdo che esita una coppia x₁, x₂ con x₁ > x₂ ma con f(x₁) ≤ f(x₂). Cioè
$ 2x_1^3 + 1 ≤ 2x_2^3 + 1$
$ 2x_1^3 ≤ 2x_2^3 $
$ x_1^3 ≤ x_2^3 $
$ x_1^3 - x_2^3 ≤ 0 $
$ (x_1 - x_2)(x_1^2 + x_1 \cdot x_2 + x_2^2) \le 0$
Il secondo fattore è nullo solo nel caso che x_1 = x_2 = 0, che non può essere visto che per ipotesi i due punti sono diversi; in tutti gli altri casi è un termine positivo.
Ne consegue che per essere verificata l'unica alternativa valida è
$ (x_1 - x_2) \le 0$
$ x_1 \le x_2$ ma questo è assurdo visto che viola l'ipotesi iniziale.