Funzione

a. 

1. Classificazione. E' una funzione razionale intera, volgarmente una polinomiale.
2. Dominio = ℝ.    nota: ℝ è il dominio comune a  tutte le razionali intere.

b.  Segno di f(x)

Se scriviamo la funzione $f(x) = -\frac{x}{4} +1 $ appare evidente che si tratta di una retta. Il coefficiente angolare negativo ci dice che è decrescente in tutto il suo dominio. In particolare il segno sarà

• • f(x) = 0 per x = 4
  • f(x) > 0 per x < 4
  • f(x) < 0 per x > 4

c.  La funzione f(x) è una funzione bigettiva quindi è invertibile. In particolare,

• • E' surgettiva. Infatti per ogni valore attribuito a y è facile ricavare la x che ha y come immagine. Si tratta di risolvere l'equazione 

$y = -\frac{x}{4} +1 $

$y -1 = -\frac{x}{4} $

$\frac{x}{4} = 1 - y $

$ x = 4(1 - y) $

" Se mi dici una y tramite la formula precedente ti calcolo la x tale che f(x) = y "

• • E' iniettiva. cioè a punti x distinti corrispondono due y distinte. Se per assurdo esistessero x₁≠x₂ tali che f(x₁)=f(x₂) allora si avrebbe

$ \frac{4-x_1}{4} = \frac{4-x_2}{4} $

$ 4-x_1 = 4-x_2 $

$ x_1 = x_2 $ Assurdo li avevamo scelti diversi.

Determinare l'inversa.

Non so quale metodo conosci, ti scrivo quello di moda in USA, che prevede tre passi

1. Scrivi la funzione nella forma y = f(x); cioè y = (4-x)/4
2. Scambia tra di loro le variabili. x = (4-y)/4
3. Ricava la y

$ 4x = 4 - y $ 

$ y = 4 - 4x $

$ y = 4(1 - x) $

quest'ultima è la funzione inversa, cioè $f^{-1}(x) = 4(1-x)$

Nota se scritta come y(x) = -4x + 4 appare evidente che si tratta di una retta 

d.

Sappiamo che per disegnare una retta è sufficiente calcolare quanto vale in due punti scelti a piacimento.

Ecco come dovrà risultare

nota: nel grafico oltre alle rette f(x) e alla sua inversa abbiamo aggiunto la bisettrice del 1°-3° quadrante.