funzione

{x > 0

{x - 3 ≠ 0

quindi: [x ≠ 3 ∧ x > 0]

Intersezione con asse delle x:

{y = (LN(x) + 1)/(x - 3)

{y = 0

soluzione: [x = e^(-1) ∧ y = 0]---> [e^(-1), 0]

y>0

(LN(x) + 1)/(x - 3) > 0----> 0 < x < e^(-1) v x > 3

y<0

(LN(x) + 1)/(x - 3) < 0---> e^(-1) < x < 3

$ f(x) = \frac{ln x +1}{x-3} $

• Dominio.
  • • • ln (x) ⇒ x > 0
      • /(x-3) ⇒ x ≠ 3

Dominio = (0, 3) U (3, +∞). La funzione f(x) è ivi continua e derivabile.

• Comportamento alla frontiera.
  • • • $\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f(x) = \frac {-\infty}{-3} = + \infty $
      • $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 $      per confronto di ordine di infinito.
      • $\displaystyle\lim_{x \to 3^-} f(x) = - \infty $
      • $\displaystyle\lim_{x \to 3^+} f(x) = + \infty $
• Immagine.
  • • • Immf(x) = ℝ (applicato il teorema dei valori intermedi (Darboux) nell'intervallo (0,3)
• Intersezione assi.
  • • • Asse x. Equazione y = 0 ⇒ ln(x) +1 = 0  ⇒ x = 1/e
• Segno f(x) 
  • • • f(x) < 0 nell'intervallo (1/e, 3)
      • f(x) = 0 per x = 1/e
      • f(x) > 0 in (0,1/e) U (3, +∞)
• Asintoti.
  • • • Verticali. Sono due di equazione x = 0; x = 1/e
      • Orizzontali. Destro di equazione y = 0

Gli asintoti derivano da semplici considerazioni sui limiti fatti per il comportamento in frontiera.

• Monotonia.
  • • • Derivata prima. $f'(x) = -\frac{xlnx+3}{x(x-3)^2}$
      • Segno derivata prima. nota: xln(x) + 3 > 0 per ogni x > 0 per cui
        • f'(x) > 0 ; Ø
        • f'(x) = 0 ; Ø
        • f'(x) < 0 nell'intero dominio
      • Monotonia. 
        • f(x) è monotona strettamente decrescente in (0,3)
        • f(x) è monotona strettamente decrescente in (3,+∞)
        • f(x) NON è una funzione strettamente decrescente nel suo dominio
• Estremi. 
  • • • Essendo Sup f(x) = +∞ la funzione f(x) non ha massimo assoluto
      • Essendo Inf f(x) = -∞ la funzione f(x) non ha minimo assoluto
      • Non essendoci punti stazionari non vi sono estremi relativi
• Grafico.