[Risolto] Frazioni algebriche

SEMPLIFICARE CON SPIEGAZIONE (espressione con frazioni algebriche)
Obiettivo della semplificazione è ottenere un'unica frazione algebrica ridotta ai minimi termini.
Affinché l'espressione abbia significato si devono escludere tutti i casi che annullino anche un solo denominatore.
Affinché la semplificazione mantenga il significato originale dell'espressione si deve escludere ogni possibile moltiplicazione e/o divisione per zero e, ovviamente, per qualsiasi subespressione che possa essere zero.
Nella moltiplicazione e nella divisione tra frazioni algebriche si devono escludere anche gli annullamenti dei numeratori.
Nella somma algebrica, come quella della foto allegata, il significato originale si mantiene anche se uno o più numeratori dovessero annullarsi.
Come promemoria per evitare confusioni (almeno fin quando non si sia maturata un'esperienza sufficiente a non confondersi) conviene, in ogni passaggio, portarsi al seguito anche le condizioni per cui quel passaggio è valido.
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SOMMA ALGEBRICA DI FRAZIONI ALGEBRICHE
Trascurando (per ora) i calcoli associati all'uso del minimo comun denominatore la procedura di semplificazione è la seguente.
Moltiplicare numeratore e denominatore di ciascuna frazione algebrica per il prodotto fra i denominatori di tutte le altre; dopo averlo fatto ogni frazione avrà il medesimo denominatore e si potrà scrivere un'unica frazione somma con tale denominatore e, per numeratore, la somma algebrica dei numeratori così ottenuti.
Ovviamente, non avendo usato il minimo comun denominatore, nella frazione risultante numeratore e denominatore potranno avere fattori comuni da eliminare per ottenere la riduzione ai minimi termini.
Il calcolo previo del minimo comun denominatore riduce la fase finale di semplificazione dei fattori comuni però può provocare qualche confusione (soprattutto nei principianti!) nella fase iniziale di unificazione dei denominatori.
Il mio consiglio al principiante che si allena svolgendo esercizi è di usare ogni espressione per svolgere due esercizi: prima senza minimo comun denominatore per minimizzare la probabilità di errori, poi col minimo comun denominatore per verificare di ottenere lo stesso risultato.
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L'ESPRESSIONE DELLA FOTO ALLEGATA è una funzione delle variabili a e b
* f(a, b) = (a^2 - b)/((a^2)*b^2) + 1/(b*a^2 - a*b^2) - a/(a*b^2 - b^3)
Il denominatore (a^2)*b^2 non s'azzera se e solo se: (a != 0) & (b != 0).
Il denominatore b*a^2 - a*b^2 = a*(a - b)*b non s'azzera se e solo se: (a != 0) & (b != 0) & (a != b).
Il denominatore a*b^2 - b^3 = (a - b)*b^2 non s'azzera se e solo se: (b != 0) & (a != b).
In conclusione l'espressione f(a, b) ha senso se e solo se
* (a != 0) & (b != 0) & (a != b) ≡ (a*b != 0) & (a != b)
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Il minimo comun denominatore è (a - b)*(a^2)*b^2
I prodotti dei denominatori, due a due, sono
* p23 = (a^3)*b^3 - 2*(a^2)*b^4 + a*b^5
* p13 = (a^3)*b^4 - (a^2)*b^5
* p12 = (a^4)*b^3 - (a^3)*b^4
e quello di tutt'e tre, unificato, è
* p123 = (a^5)*b^5 - 2*(a^4)*b^6 + (a^3)*b^7
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Dopo la fase di unificazione i tre denominatori sono diventati p123 e i numeratori sono
* n1 = (a^2 - b)*p23 = (a^5)*b^3 - 2*(a^4)*b^4 + (a^3)*b^5 - (a^3)*b^4 + 2*(a^2)*b^5 - a*b^6
* n2 = (1)*p13 = (a^3)*b^4 - (a^2)*b^5
* n3 = (a)*p12 = (a^5)*b^3 - (a^4)*b^4
e la frazione unica è
* f(a, b) = (n1 + n2 - n3)/p123 =
= (((a^5)*b^3 - 2*(a^4)*b^4 + (a^3)*b^5 - (a^3)*b^4 + 2*(a^2)*b^5 - a*b^6) + ((a^3)*b^4 - (a^2)*b^5) - ((a^5)*b^3 - (a^4)*b^4))/((a^5)*b^5 - 2*(a^4)*b^6 + (a^3)*b^7) =
= (- (a^4)*b^4 + (a^3)*b^5 + (a^2)*b^5 - a*b^6)/((a^5)*b^5 - 2*(a^4)*b^6 + (a^3)*b^7)
che, alla luce dell'inespressa condizione (a*b != 0) & (a != b), si fattorizza e si semplifica
* f(a, b) = (- a*(a - b)*(a^2 - b)*b^4)/((a^3)*(b^5)*(a - b)^2) =
= (- (a^2 - b))/((a^2)*b*(a - b)) =
= (b - a^2)/(b*(a - b)*a^2)
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VERIFICA nel paragrafo "Results" al link
http://www.wolframalpha.com/input?i=simplify%5B%28a%5E2-b%29%2F%28%28a%5E2%29*b%5E2%29--1%2F%28b*a%5E2-a*b%5E2%29-a%2F%28a*b%5E2-b%5E3%29%5D
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Sperando che la spiegazione sia stata di tua soddisfazione ti lascio il piacere di applicare la procedura con l'uso del minimo comun denominatore.