Formule goniometriche applicate alla geometria

COS(α) = 1/4

SIN(α) = √(1 - (1/4)^2)

SIN(α) = √15/4

SIN(β) = SIN(pi - 2·α)---> SIN(β) = SIN(2·α)

SIN(β) = 2·SIN(α)·COS(α)

SIN(β) = 2·(√15/4)·(1/4)---> SIN(β) = √15/8

COS(β) = √(1 - (√15/8)^2)--->COS(β) = 7/8 

Non ho ancora fatto trigonometria a scuola, però il modo in cui lo risolverei io è questo:

Nota che gli angoli alla base sono congruenti, questo triangolo è un triangolo isoscele, quindi tracciando la perpendicolare dal vertice comune ai lati obliqui relativa alla base avrai disegnato un segmento che è mediana, bisettrice e altezza di questo triangolo. Per cui avrai due triangoli rettangoli congruenti con angoli acuti $\frac{\beta}{2}$ e $\alpha$. Nota che $\cos \alpha =\sin \frac{\beta}{2}$, allora per l'identità fondamentale della trigonometria: 

$\cos^2 \alpha + \cos^2 \frac{\beta}{2}=1$

$\cos^2 \frac{\beta}{2}= 1-\frac{1}{16}$

Per le identità degli angoli doppi:

$\cos \beta = \cos^2 \frac{\beta}{2} - \cos^2 \alpha = \frac{15}{16}-\frac{1}{16}=\frac{14}{16}=\frac{7}{8}$.

A questo punto sempre per l'identità fondamentale della trigonometria:

$\cos^2 \beta + \sin^2 \beta = 1$

$\sin^2 \beta = 1-\frac{49}{64}=\frac{15}{64}$

$\sin \beta = \sqrt{\frac{15}{64}}= \frac{\sqrt{15}}{8}$.