Formule goniometriche

TAN(α + pi/4) = COS(α - 5/4·pi)/COS(3/4·pi - α)

Sfrutta le formule di addizione e di sottrazione degli archi:

TAN(α + β) = (TAN(α) + TAN(β))/(1 - TAN(α)·TAN(β))

COS(α + β) = COS(α)·COS(β) - SIN(α)·SIN(β)

COS(α - β) = COS(α)·COS(β) + SIN(α)·SIN(β)

Verifichiamo a membri separati:

1° MEMBRO

TAN(α + pi/4) = (TAN(α) + TAN(pi/4))/(1 - TAN(α)·TAN(p/4))=

=(TAN(α) + 1)/(1 - TAN(α))= (COS(α) + SIN(α))/(COS(α) - SIN(α))

2° MEMBRO

COS(α - 5/4·pi)/COS(3/4·pi - α)=

=(COS(α)·COS(5/4·pi) + SIN(α)·SIN(5/4·pi))/(COS(3/4·pi)·COS(α) + SIN(3/4·pi)·SIN(α)) =

=(COS(α)·(- √2/2) + SIN(α)·(- √2/2))/((- √2/2)·COS(α) + √2/2·SIN(α))=

=(COS(α) + SIN(α))/(COS(α) - SIN(α))

Nel primo giro (0 <= x < 2*π) l'eguaglianza
36) tg(x + π/4) = cos(x - 5*π/4)/cos(3*π/4 - x)
dal momento che
* (cos(3*π/4 - x) = - cos(x + π/4) = 0) & (0 <= x < 2*π) ≡ x ∈ {π/4, 5*π/4}
e quindi i due membri sono indefiniti per gli stessi valori, può essere un'identità.
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Escludendo i valori che rendono indefinita la 36 sono lecite le seguenti equivalenze.
* (tg(x + π/4) = cos(x - 5*π/4)/cos(3*π/4 - x)) & (0 <= x < 2*π) & (x ∉ {π/4, 5*π/4}) ≡
≡ (cos(3*π/4 - x)*tg(x + π/4) = cos(x - 5*π/4)) & (0 <= x < 2*π) & (x ∉ {π/4, 5*π/4}) ≡
≡ (- sin(x + π/4) = cos(x - 5*π/4)) & (0 <= x < 2*π) & (x ∉ {π/4, 5*π/4}) ≡
≡ (Vero ∀ x ∈ R) & (0 <= x < 2*π) & (x ∉ {π/4, 5*π/4}) →
→ ∀ k ∈ Z x ∉ {π/4 + 2*k*π, 5*π/4 + 2*k*π}
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DETTAGLI (formule di addizione e sottrazione, definizione di tangente)
* cos(3*π/4 - x) = (sin(x) - cos(x))/√2
* cos(x + π/4) = (cos(x) - sin(x))/√2
* tg(x + π/4) = sin(x + π/4)/cos(x + π/4) = - sin(x + π/4)/cos(3*π/4 - x)
* sin(x + π/4) = (sin(x) + cos(x))/√2
* cos(x - 5*π/4) = - (sin(x) + cos(x))/√2