Un'iperbole ha come asintoti due rette passanti per l'origine e simmetriche rispetto all'asse x, che formano un angolo di pig/3 Scrivi l'equazione dell'iperbole, sapendo che passa per il punto P(6, 3).
Un'iperbole ha come asintoti due rette passanti per l'origine e simmetriche rispetto all'asse x, che formano un angolo di pig/3 Scrivi l'equazione dell'iperbole, sapendo che passa per il punto P(6, 3).
Il punto di incontro degli asintoti (origine del sistema di riferimento) è il centro di simmetria della conica.
x²/a² - y²/b² = ± 1
Se l'angolo tra le due rette, simmetriche rispetto all:asse x, è 60° il coefficiente angolare degli asintoti è
m= ± tan(30) = ± b/a
Quindi:
b/a = radice (3)/3
b²/a² = 1/3 => a² = 3b²
Essendo a²>b² l'equazione è del tipo
x²/3b² - y²/b² = 1
Imponendo la condizione di appartenenza del punto alla conica si ricava
12/b² - 9/b² = 1
b²=3
a²= 3*3=9
L'iperbole ha equazione
x²/9 - y²/3 = 1
Pur comprendendo il tuo amore per le 'g' finali (@zlzlg non è mica uno scherzo, come pseudonimo; una mia collega che si chiamava Czernl già aveva una vocale più di te.), mi duole comunicarti che un terzo di porco fa un prosciutto più una spalla più un guanciale e un bel po' di pancetta, MA CHE NON PUO' FARE né pi/3 né π/3 né 120°: il nome standard per la pi greca è solo 'pi', senza 'g' finale.
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Se gli asintoti sono come descritti allora hanno inclinazione θ = ± π/6 ed equazione
* y = ± tg(π/6)*x ≡ y = ± x/√3
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Gli asintoti dell'iperbole che, come descritta, ha equazione di forma
* Γ ≡ (x/a)^2 - (y/b)^2 = ± 1
hanno equazione
* y = ± (b/a)*x
quindi
* b/a = 1/√3 ≡ b = a/√3 < a
e pertanto l'asse x è asse trasverso e l'equazione diventa
* Γ ≡ (x/a)^2 - (y/(a/√3))^2 = 1
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Il vincolo d'appartenenza di P(6, 3)
* (6/a)^2 - (3/(a/√3))^2 = 1 ≡ a = 3
infine determina
* Γ ≡ (x/3)^2 - (y/√3)^2 = 1 ≡ x^2 - 3*y^2 - 9 = 0
che è proprio il risultato atteso.