formule goniometriche

Il punto di incontro degli asintoti (origine del sistema di riferimento) è il centro di simmetria della conica. 

x²/a² - y²/b² = ± 1

Se l'angolo tra le due rette, simmetriche rispetto all:asse x, è 60° il coefficiente angolare degli asintoti è

m= ± tan(30) = ± b/a

Quindi:

b/a = radice (3)/3

b²/a² = 1/3 => a² = 3b²

Essendo a²>b² l'equazione è del tipo 

x²/3b² - y²/b² = 1

Imponendo la condizione di appartenenza del punto alla conica si ricava 

12/b² - 9/b² = 1

b²=3

a²= 3*3=9

L'iperbole ha equazione 

x²/9 - y²/3 = 1

Pur comprendendo il tuo amore per le 'g' finali (@zlzlg non è mica uno scherzo, come pseudonimo; una mia collega che si chiamava Czernl già aveva una vocale più di te.), mi duole comunicarti che un terzo di porco fa un prosciutto più una spalla più un guanciale e un bel po' di pancetta, MA CHE NON PUO' FARE né pi/3 né π/3 né 120°: il nome standard per la pi greca è solo 'pi', senza 'g' finale.
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Se gli asintoti sono come descritti allora hanno inclinazione θ = ± π/6 ed equazione
* y = ± tg(π/6)*x ≡ y = ± x/√3
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Gli asintoti dell'iperbole che, come descritta, ha equazione di forma
* Γ ≡ (x/a)^2 - (y/b)^2 = ± 1
hanno equazione
* y = ± (b/a)*x
quindi
* b/a = 1/√3 ≡ b = a/√3 < a
e pertanto l'asse x è asse trasverso e l'equazione diventa
* Γ ≡ (x/a)^2 - (y/(a/√3))^2 = 1
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Il vincolo d'appartenenza di P(6, 3)
* (6/a)^2 - (3/(a/√3))^2 = 1 ≡ a = 3
infine determina
* Γ ≡ (x/3)^2 - (y/√3)^2 = 1 ≡ x^2 - 3*y^2 - 9 = 0
che è proprio il risultato atteso.