Formule di Prostaferesi

Formule di prostaferesi:

SIN(p) + SIN(q) = 2·SIN((p + q)/2)·COS((p - q)/2)

SIN(p) - SIN(q) = 2·COS((p + q)/2)·SIN((p - q)/2)

COS(p) + COS(q) = 2·COS((p + q)/2)·COS((p - q)/2)

COS(p) - COS(q) = - 2·SIN((p + q)/2)·SIN((p - q)/2)

utilizzo la prima trasformando il primo addendo in SENO:

COS(2·α) = SIN(pi/2 - 2·α)

quindi:

p = pi/2 - 2·α

q = 8·α

SIN(pi/2 - 2·α) + SIN(8·α) =

= 2·SIN(((pi/2 - 2·α) + 8·α)/2)·COS(((pi/2 - 2·α) - 8·α)/2)

SIN(pi/2 - 2·α) + SIN(8·α) = 2·SIN(3·α + pi/4)·COS(pi/4 - 5·α)

In definitiva utilizzando gli angoli sessagesimali abbiamo:

COS(2·α) + SIN(8·α) =

=2·SIN(45° +3·α)·COS(45° - 5·α)

dalla  cos α = sin(90° - α) segue che cos(2α) = sin(90° - 2α) per cui

sin(90°-2α) + sin(8α) = 2 sin((90° + 6α)/2) cos ((90° - 10α)/2) = 2 sin(45° + 3α) cos(45° - 5α)