La formula è piuttosto autoesplicativa, perché non si fa nient'altro che applicare la proprietà di derivazione di un polinomio generico. Si usa il fatto che la derivata di una somma equivale alla somma delle derivate dei singoli termini e (n>1)
$\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}$
Se si decidesse di prendere la derivata $k-esima$ di un generico polinomio in x, denotata con $x^{(k)}$, si trova proprio la formula in arancione. Infatti tutti i termini in x di ordine minore di k si annullanno, in quanto ad un certo punto diventano costanti e derivandoli diventano nulli. Rimangono in vita solo gli x con ordine maggiore o uguale a $k$, ossia maggiori o uguali alla derivata k-esima.
Ogni volta che si deriva una potenza di x, l'esponente appare come fattore moltiplicativo e si abbassa di uno il grado di x. Ad esempio, la derivata quinta (k=5) di $ax^8$
$d^{(5)} ax^8= a*8*7*6*5*4 x^3= a (n)(n-1)...(n-k+1)* x^{n-k}$
In questo modo trovi i coefficienti moltiplicativi di ciascun termine dell'espressione. (Con $k!$ si intende il fattoriale di k).