Sia $q$ la forma quadratica associata alla matrice $A=\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 0 \\ -1 & k & 3 \\ 0 & 3 & 3\end{array}\right)$.
Determinare i valori di $k$ per i quali $q$ è
a) definita positiva;
b) definita negativa;
c) semidefinita positiva;
d) semidefinita negativa;
e) indefinita.
SOLUZIONI:
a) $k>7 / 2$. b) Nessun valore di $k$. c) $k=7 / 2$. d) Nessun valore di $k$. e) $k<7 / 2$.
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Livello 1
Te lo imposto. Uno dei criteri per cui la matrice è definita positiva/negativa è se tutti i minori invadenti (o "minori di testa") sono positivi/negativi. Essendo il primo minore invadente il solo numero 2, vedi subito che questo è positivo, non dipende da $k$ e quindi escludi già in partenza che la matrice possa essere definita negativa (e anche semidefinita negativa).
A questo punto devi imporre che
$\det \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & k \end{pmatrix} >0$
e che
$\det \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & k & 3 \\ 0 & 3 & 3 \end{pmatrix} >0$
la prima condizione ti fornisce $k>-1/2$ e la seconda $k>7/2$.
Quindi in conclusione $k>7/2$
praticamente hai finito...cosa puoi dire sui casi semidefinita positiva/negativa e indefinita?
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Livello 9
