Per calcolare la pressione sul fondo del recipiente e la velocità di uscita del liquido attraverso il foro, possiamo seguire questi passaggi:
### 1. Calcolo della pressione sul fondo del recipiente
#### Dati forniti:
- Densità del liquido 1 (\( \rho_1 \)): \( 1.0 \times 10^3 \, \text{kg/m}^3 \)
- Densità del liquido 2 (\( \rho_2 \)): \( 1.5 \times 10^3 \, \text{kg/m}^3 \)
- Altezza del liquido 1 (\( h_1 \)): \( 0.5 \, \text{m} \)
- Altezza del liquido 2 (\( h_2 \)): \( 0.8 \, \text{m} \)
- Massa del pistone (\( m \)): \( 15 \, \text{kg} \)
- Accelerazione di gravità (\( g \)): \( 9.81 \, \text{m/s}^2 \)
#### Pressione esercitata dal pistone:
La pressione esercitata dal pistone sul liquido è data da:
\[
P_p = \frac{m \cdot g}{A}
\]
dove \( A \) è l'area della sezione del cilindro. Poiché il volume del cilindro è \( 200 \, \text{cm}^3 \), possiamo calcolare l'area \( A \):
\[
V = A \cdot h \implies A = \frac{V}{h}
\]
Assumiamo a scopo di calcolo che l'altezza totale del cilindro sia \( 1.3 \, \text{m} \) (somma di \( h_1 \) e \( h_2 \)):
\[
A = \frac{200 \times 10^{-6} \, \text{m}^3}{1.3 \, \text{m}} \approx 1.538 \times 10^{-4} \, \text{m}^2
\]
#### Calcolo della pressione del pistone:
Ora calcoliamo \( P_p \):
\[
P_p = \frac{15 \cdot 9.81}{1.538 \times 10^{-4}} \approx 957325.63 \, \text{Pa}
\]
#### Pressione dovuta ai liquidi:
La pressione totale sul fondo del recipiente è la somma della pressione del pistone e della pressione dovuta ai liquidi.
La pressione dovuta a ciascun liquido è:
\[
P_1 = \rho_1 \cdot g \cdot h_1
\]
\[
P_2 = \rho_2 \cdot g \cdot h_2
\]
Calcolando \( P_1 \) e \( P_2 \):
\[
P_1 = 1.0 \times 10^3 \cdot 9.81 \cdot 0.5 \approx 4905 \, \text{Pa}
\]
\[
P_2 = 1.5 \times 10^3 \cdot 9.81 \cdot 0.8 \approx 11772 \, \text{Pa}
\]
#### Pressione totale sul fondo:
La pressione totale sul fondo del recipiente è quindi:
\[
P_{totale} = P_p + P_1 + P_2
\]
\[
P_{totale} \approx 957325.63 + 4905 + 11772 \approx 973003.63 \, \text{Pa}
\]
### 2. Calcolo della velocità di uscita
Utilizzando il teorema di Torricelli, la velocità di uscita \( v \) del liquido attraverso un foro è data da:
\[
v = \sqrt{2gh}
\]
dove \( h \) è l'altezza della colonna di liquido sopra il foro. Assumiamo che il foro si trovi a una profondità di \( 1 \, \text{m} \) dal pistone, quindi la colonna di liquido sarà di \( 0.3 \, \text{m} \) (dalla somma delle altezze dei liquidi).
#### Calcolo della velocità di uscita:
\[
v = \sqrt{2 \cdot 9.81 \cdot 0.3} \approx \sqrt{5.886} \approx 2.43 \, \text{m/s}
\]
### Risultati finali:
- **Pressione totale sul fondo del recipiente**: \( \approx 973003.63 \, \text{Pa} \)
- **Velocità di uscita del liquido**: \( \approx 2.43 \, \text{m/s} \)
