[Risolto] Flessi

Devi studiare anche la derivata prima per studiare anche i flessi a tangente orizzontale e verticale:

Sia $(\alpha, \beta)$ un punto di flesso per una funzione $f(x)\,$: se $\frac{d}{dx}f(x) = 0\,$, allora si parla di flesso a tangente orizzontale; altrimenti si parla di flesso obliquo.

Sia

\[f(x) \in \mathcal{C}^2(I_{\delta}(\alpha)) \quad \frac{d}{dx}f(\alpha) \rightarrow \pm \infty\,,\]

allora si parla di punto di non derivabilità a tangente verticale. Se anche

\[\frac{d^2}{dx^2}f(x) \neq 0 \; \forall x \in I_{\delta}(\alpha) \mid \frac{d^2}{dx^2}f(x) < 0 \; \forall x \in I_{\delta}^{\pm}(\alpha) \land \frac{d^2}{dx^2}f(x) > 0 \; \forall x \in I_{\delta}^{\mp}(\alpha)\,,\]

allora si parla di flesso a tangente verticale.

Lo studio di una funzione e quindi in particolare lo studio della concavità (e della convessità) non può prescindere dallo studio di 3 cose:

a) la funzione in primis

b) la derivata prima

c) la derivata seconda

(che a volte non basta)

per i punti di flesso, in essi la y'' deve esistere ed essere nulla.

Quindi rispondendo alla tua domanda: NON ESCE TUTTO dalla derivata y''.

Il tuo "quindi" c'entra come i cavoli a merenda: dopo un'interrogativa c'è poco da concludere! Soprattutto se, come conclusione, presenti una seconda interrogativa! E poi, come alternativa ("O mi esce ..."), ne presenti una terza, anche se il punto interrogativo t'è rimasto nella tastiera!
Ti rispondo da sotto in su.
1) "... mi esce tutto quando studio la seconda(?)"
Non devi affatto studiare la funzione f''(x), devi solo azzerarla. Il sottinsieme della soluzione costituito dalle sole radici reali ti dà le ascisse di tutti e soli i punti di flesso del grafico di f(x), che la tangente sia obliqua o orizzontale.
2) "... dovrei calcolare anche derivabilità e derivata prima?"
No. Se la consegna è solo di "calcolare tutti i flessi" di f(x) e non anche di determinare le tangenti di flesso allora non occorre calcolare f'(x); la si calcola per valutare la pendenza delle tangenti.
3) "... devo fare quelli con la derivata seconda, quelli a tangente verticale e orizzontale?"
3a) "... devo fare quelli con la derivata seconda, quelli a tangente ... orizzontale?"
V. sub 1), già fatto.
3b) "... devo fare quelli ... a tangente verticale ...?"
No, perché non esistono!
Le locuzioni "flesso a tangente verticale" o "flesso all'infinito" sono abbreviazioni convenzionali per dire che, in un'ascissa dove f(x) è indefinita, i limiti bilaterali divergono con segni opposti.
Ma ciò non implica affatto che ci sia un flesso che, per definizione, deve appartenere a f(x) e non a non f(x)!