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[Risolto] FISICA - PROBLEMA A PASSI

  

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Chiedo un aiuto per il seguente problema di fisica in cui si ottiene il risultato risolvendo la disequazione da trovare. 

Due altoparlanti distano tra loro 8,6 m ed emettono in fase onde sonore di frequenza 480 Hz.

Considera i punti che stanno sul segmento che unisce i due altoparlanti. In quanti di essi si ha interferenza costruttiva tra i due suoni?[25]

1) Calcola la lunghezza d'onda delle onde sonore usando la relazione tra lunghezza d'onda, frequenza e velocità del suono.

2) Nella formula dell'interferenza costruttiva, imponi che il modulo della differenza tra le due distanze sia minore o uguale alla distanza tra i due altoparlanti.

3) Risolvi la disequazione ottenuta.

prima di allegare la foto, mostro di seguito il ragionamento che ho fatto ma che non mi porta al risultato presente sul libro. 

riferendomi al primo punto, calcolo la lunghezza d’onda con la seguente formula: λ= v/f. 

successivamente, trovata la lunghezza d’onda trovo i punti con la formula dell’ interferenza costruttiva: d<= nλ ma ottengo come risultato 12 avendo λ che vale 0.71 m. 

se qualcuno è in grado di aiutarmi e farmi capire l’errore, lo ringrazio in anticipo. allego ora foto dell’esercizio.

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-1

L'interferenza nel caso di due sorgenti A e B (di pari frequenza, intensità e fase) è distruttiva dove la differenza di cammino delle due onde è un numero intero dispari di semilunghezze d'onda, costruttiva se è un intero pari, intermedia se non è un intero.
NEL CASO IN ESAME
Uso i nomi
* d = 8,6 = 43/5 m (distanza fra le due sorgenti puntiformi)
* x = distanza da A del punto cursore del segmento AB
* d - x = distanza da B
* f = 480 Hz (frequenza)
* v = 344 m/s (velocità di propagazione)
* λ = v/f = 344/480 = 43/60 = 0.71(6) m (lunghezza d'onda)
* L = λ/2 = 43/120 = 0.358(3) m (semilunghezza d'onda)
---------------
La situazione è simmetrica; al centro del segmento AB la differenza dei cammini è zero, che è un multiplo pari di checchessia; perciò basta contare gli N punti per 0 <= x < d/2 (quindi x < d - x <= d/2): il risultato è 2*N + 1 che, se deve valere 25, vuol dire che l'obiettivo del calcolo è 12.
---------------
Poiché
* (0 <= x < d/2) & (x < d - x <= d) ≡ (d - x > x)
la differenza dei cammini è
* y = d - 2*x > 0
---------------
Per l'interferenza costruttiva il rapporto che dev'essere un intero pari 2*k > 0 è
* r(x) = y/L = (d - 2*x)/(λ/2) = 2*k ≡
≡ x = (d - k*λ)/2 = (43/5 - k*43/60)/2 = 43/10 - (43/120)*k
Con il vincolo richiesto al punto due e il significato di k si ha
* (x = 43/10 - (43/120)*k) & (d - 2*x <= d) & (k > 0) ≡
≡ (x = 43/10 - (43/120)*k) & (x >= 0) & (k > 0) ≡
≡ (43/10 >= (43/120)*k) & (k > 0) ≡
≡ 0 < k <= 12 ≡
≡ N = 12 →
→ 2*N + 1 = 25
QED

 



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@anguus90 grazie mille! ma non ho capito come arrivi ad ottenere 25 punti. che calcolo fai?

per ciascuno dei valori di n, corrispondenti a una frangia di interferenza costruttiva, vi sono due possibilità di posizionare il punto P tra le due sorgenti sonore, ciò è dovuto alla presenza del valore assoluto. Per intenderci "numericamente" , se la differenza tra le distanze deve essere 2, e le due sorgenti distano 10 metri tra di loro, il punto P può trovarsi a 6 metri dalla prima sorgente e a 4 metri dalla seconda, ma anche viceversa. Ciò non si verifica solo per n=0, che è esclusivamente il caso in cui il punto P si trovi a metà tra le due sorgenti. Spero di essere stato chiaro . 



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