Fisica, moto del proiettile.

[η, μ] componenti della velocità iniziale v

Equazioni che regolano il moto:

{x = η·t

{y = μ·t - 1/2·g·t^2  (con g = 9.806 m/s^2)

x = 50 m spazio che deve percorrere il pallone

y = 0 m (il pallone parte da terra ed arriva sulla linea di porta)

η = v·COS(30°) = √3·v/2

μ = v·SIN(30°) = v/2

Quindi:

50 = √3·v/2·t---> t = 100·√3/(3·v)

dalla prima, per sostituzione nella seconda:

0 = v/2·(100·√3/(3·v)) - 1/2·9.806·(100·√3/(3·v))^2

0 = 50·√3/3 - 49030/(3·v^2)

Risolvo in v:  v = 23.794 m/s

Per calcolare la gittata si applica la seguente formula:

d= ((Vo^(2)sen20)/g

Nel nostro caso l’incognita è Vo; di conseguenza:

Vo = radice quadrata di ((d*g)/(sen20))

quindi:

Vo = radice quadrata di ((50*9.81)/(sen60)) = 23,8 m/s

Le leggi del moto parabolico senza attrito sono

{ vx = vo cos a

{ vy = vo sin a - g t

ovvero, posta l'origine nel punto di partenza,

{ x = vo t cos a

{ y = vo t sin a - g/2 t^2

Il pallone torna a terra quando t = T con

vo T sin a - g/2 T^2 = 0

che con T =/= 0 dà subito T = 2 vo sin a / g

per cui x(T) = D diventa

vo * 2 vo/g * sin a cos a = D

vo^2 sin (2a) / g = D

vo = sqrt (g D/(sin (2a)) = sqrt (9.806*50/sin (pi/3)) m/s = 23.8 m/s

50 = Vo^2/g*sin 60°

490,3 = Vo^2*0,866

Vo = √490,3/0,866 = 23,8 m/s ...(24 con due sole cifre significative)

Un calciatore dista dalla porta avversaria 50 m. Da qui lancia un pallone con un angolo di 30°.

Quale velocità deve imprimere al pallone per farlo cadere sulla linea di porta?

Soluzione: 24 m⁄s

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Senza considerare l'attrito dell'aria e come se il pallone fosse un punto materiale:

$\small \dfrac{2(v_0)^2×sen(\alpha)×cos(\alpha)}{g\,^{(2)}}= L$ $^{(1)}$

$\small \dfrac{2(v_0)^2×sen(30°)×cos(30°)}{g}= 50$ 

$\small \dfrac{2(v_0)^2×0,5×0,866}{g}= 50$ 

$\small \dfrac{2(v_0)^2×0,433}{g}= 50$ 

$\small 2(v_0)^2×0,433= 50g$

$\small (v_0)^2= \dfrac{50g}{2×0,433}$

$\small (v_0)^2 = 566,2038$

$\small \sqrt{(v_0)^2} = \sqrt{566,2038}$

$\small v_0= 23,795\,m/s\quad(\approx{24}\,m/s).$

Note:

$^{(1)}$ $L= $ gittata;

$^{(2)}$ $g= 9,80665\,m/s^2$ (accelerazione di gravità).