Fisica moto del proiettile

Opzione D.
Sulla luna, in assenza di resistenza del mezzo, una roccia lunare si muove come un punto materiale.
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RIPASSO
Un punto materiale lanciato dalla posizione Y(0, h) con velocità di modulo V e alzo θ (con V > 0 e θ in [- π/2, π/2]) ha la posizione istantanea P(x, y) data da
* x(t) = V*cos(θ)*t
* y(t) = h + (V*sin(θ) - (g/2)*t)*t
e la velocità istantanea v(t) = (V*cos(θ), vy(t)) data da
* vy(t) = V*sin(θ) - g*t
NOTE
1) Il valore locale per l'accelerazione di gravità si assume
* g = 1.6 = 8/5 m/s^2
2) La traiettoria percorsa si ricava eliminando il parametro tempo dalle equazioni delle coordinate.
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SVOLGIMENTO (h = 0)
In 4.0 s a 3.2 = 16/5 m/s si percorrono 64/5 m, che rappresentano la gittata del lancio.
xt(T) è al massimo (gittata) nell'istante T > 0 in cui y(T) = 0 (al suolo); cioè
* (y(T) = (V*sin(θ) - (g/2)*T)*T = 0) & (T > 0) ≡
≡ T = 2*V*sin(θ)/g
* x(T) = V*cos(θ)*2*V*sin(θ)/g = (sin(2*θ)/g)*V^2
da cui
* (T = 2*V*sin(θ)/(8/5) = 4 s) & (x(T) = (sin(2*θ)/(8/5))*V^2 = 64/5 m) ≡
≡ (V = 16*√2/5 ~= 4.5 m/s) & (θ = π/4 = 45°)

Risposta D) 45°;

tan(angolo) = voy / vox;

vox = 3,2 m/s; costante;

vy = g * t + voy;  in verticale il moto è accelerato;

vy = - 1,6 * t + voy;

nel punto più alto della parabola, la velocità verticale vy diventa 0 m/s;

se il tempo di volo è 4,0 s, il tempo di salita è la metà.

t salita = 2 s;

vy = 0;

- 1,6 * t + voy = 0;

voy = 1,6 * 2 = 3,2 m/s;  (voy = vox);

tan(angolo) = 3,2 / 3,2 = 1;

angolo di lancio = arctan(1) = 45°.

Ciao  @giammixyz

Le leggi orarie che permettono di descrivere la traiettoria della roccia sono:

$\begin{cases} \
y(t) = v_{0} \ \text{sen}\theta t - \dfrac{1}{2}g_{\text{L}}t^{2} \\
x(t) = v_{0} \ \text{cos}\theta t
\end{cases}$

dove $g_{\text{L}}$ è l'accelerazione di gravità sulla Luna.

E' bene osservare che se l'astronauta, dopo $4,0 \ \text{s}$, riprende in mano la roccia allora significa che ha percorso uno spazio rettilineo pari alla gittata della stessa. Pertanto, se $x'(t)$ è l'equazione oraria dell'astronauta e $x(t)$ l'equazione oraria della roccia lungo l'asse $x$, allora per $t = 4,0 \ \text{s}$ si avrà

$x'(t) = x(t)\Rightarrow v_{a}t = v_{0} \ \text{cos}\theta t\Rightarrow v_{a} = v_{0} \ \text{cos}\theta$

Dalla seconda legge oraria della roccia, per $t = 4,0 \ \text{s}$, si ha $y(t) = 0$, dunque:

$v_{0} \ \text{sen}\theta =\dfrac{1}{2}g_{\text{L}}t$

da cui

$\text{tan}\theta = \dfrac{\text{sen}\theta}{\text{cos}\theta} = \dfrac{gt}{2v_{a}}$

dove $gt/2v_{a} = 1$, e pertanto

$\theta = \dfrac{\pi}{4}.$