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Fisica-Induttanza e derivate

  

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Salve, qualcuno potrebbe per favore risolvere questi due problemi passo passo? Non capisco perché non ottengo i risultati del libro. 

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1. Calcolo del campo magnetico nel solenoide:

Il campo magnetico all'interno di un solenoide è dato da:

B = μ₀ * n * I

 

dove:

* μ₀ è la permeabilità magnetica del vuoto (4π * 10⁻⁷ T·m/A)

* n è il numero di spire per unità di lunghezza (N/L)

* I è la corrente che scorre nel solenoide

Nel nostro caso:

* N = 500 spire

* L = 20 cm = 0,2 m

* n = 500 / 0,2 = 2500 spire/m

Quindi, il campo magnetico in funzione del tempo è:

B(t) = (4π * 10⁻⁷ T·m/A) * (2500 spire/m) * I(t)

 

2. Calcolo del flusso magnetico attraverso la bobina:

Il flusso magnetico attraverso la bobina è dato da:

Φ(t) = B(t) * A * N_bobina

 

dove:

* A è l'area della sezione trasversale del solenoide (π * (d/2)²)

* N_bobina è il numero di spire della bobina (20)

Nel nostro caso:

* d = 8 cm = 0,08 m

* A = π * (0,08 m / 2)² = 0,005024 m²

Quindi, il flusso magnetico in funzione del tempo è:

Φ(t) = B(t) * 0,005024 m² * 20

 

3. Calcolo della forza elettromotrice indotta:

La forza elettromotrice indotta nella bobina è data dalla legge di Faraday:

ε(t) = -dΦ(t)/dt

 

Derivando il flusso magnetico rispetto al tempo, otteniamo:

ε(t) = -20 * 0,005024 m² * (4π * 10⁻⁷ T·m/A) * 2500 spire/m * dI(t)/dt

 

dove:

dI(t)/dt = -2(t-3) / (1 + (t-3)²)^2

 

4. Calcolo della corrente indotta:

La corrente indotta nella bobina è data dalla legge di Ohm:

i(t) = ε(t) / R

 

dove R è la resistenza del resistore (1,5 Ω).

5. Calcolo della corrente indotta per i tempi richiesti:

* t = 1 s:

   dI(1)/dt = -2(1-3) / (1 + (1-3)²)^2 = 1/5

ε(1) = -20 * 0,005024 m² * (4π * 10⁻⁷ T·m/A) * 2500 spire/m * (1/5) = -0,00005024 V

i(1) = -0,00005024 V / 1,5 Ω = -33,49 μA

 

   Il segno negativo indica che la corrente indotta si oppone alla variazione del flusso magnetico (legge di Lenz).

* t = 3 s:

   dI(3)/dt = -2(3-3) / (1 + (3-3)²)^2 = 0

ε(3) = 0 V

i(3) = 0 A

 

   La corrente indotta è nulla perché il campo magnetico non varia in questo istante.

* t = 4 s:

   dI(4)/dt = -2(4-3) / (1 + (4-3)²)^2 = -1/5

ε(4) = -20 * 0,005024 m² * (4π * 10⁻⁷ T·m/A) * 2500 spire/m * (-1/5) = 0,00005024 V

i(4) = 0,00005024 V / 1,5 Ω = 33,49 μA

 

   Il segno positivo indica che la corrente indotta si oppone alla diminuzione del flusso magnetico.

Esercizio 2

L'intensità della corrente indotta è massima quando il valore assoluto della derivata della corrente rispetto al tempo è massimo.

Come abbiamo visto prima:

dI(t)/dt = -2(t-3) / (1 + (t-3)²)^2

 

Per trovare il massimo di questa funzione, possiamoDerivare di nuovo rispetto al tempo e uguagliare a zero:

d²I(t)/dt² = 2(3t^2 - 18t + 17) / (1 + (t-3)²)^3 = 0

 

Risolvendo l'equazione di secondo grado, otteniamo:

t = (18 ± √(18² - 4*3*17)) / (2*3) = 3 ± √3 / 3



Risposta
SOS Matematica

4.6
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