Salve, qualcuno potrebbe per favore risolvere questi due problemi passo passo? Non capisco perché non ottengo i risultati del libro.
Salve, qualcuno potrebbe per favore risolvere questi due problemi passo passo? Non capisco perché non ottengo i risultati del libro.
1. Calcolo del campo magnetico nel solenoide:
Il campo magnetico all'interno di un solenoide è dato da:
B = μ₀ * n * I
dove:
* μ₀ è la permeabilità magnetica del vuoto (4π * 10⁻⁷ T·m/A)
* n è il numero di spire per unità di lunghezza (N/L)
* I è la corrente che scorre nel solenoide
Nel nostro caso:
* N = 500 spire
* L = 20 cm = 0,2 m
* n = 500 / 0,2 = 2500 spire/m
Quindi, il campo magnetico in funzione del tempo è:
B(t) = (4π * 10⁻⁷ T·m/A) * (2500 spire/m) * I(t)
2. Calcolo del flusso magnetico attraverso la bobina:
Il flusso magnetico attraverso la bobina è dato da:
Φ(t) = B(t) * A * N_bobina
dove:
* A è l'area della sezione trasversale del solenoide (π * (d/2)²)
* N_bobina è il numero di spire della bobina (20)
Nel nostro caso:
* d = 8 cm = 0,08 m
* A = π * (0,08 m / 2)² = 0,005024 m²
Quindi, il flusso magnetico in funzione del tempo è:
Φ(t) = B(t) * 0,005024 m² * 20
3. Calcolo della forza elettromotrice indotta:
La forza elettromotrice indotta nella bobina è data dalla legge di Faraday:
ε(t) = -dΦ(t)/dt
Derivando il flusso magnetico rispetto al tempo, otteniamo:
ε(t) = -20 * 0,005024 m² * (4π * 10⁻⁷ T·m/A) * 2500 spire/m * dI(t)/dt
dove:
dI(t)/dt = -2(t-3) / (1 + (t-3)²)^2
4. Calcolo della corrente indotta:
La corrente indotta nella bobina è data dalla legge di Ohm:
i(t) = ε(t) / R
dove R è la resistenza del resistore (1,5 Ω).
5. Calcolo della corrente indotta per i tempi richiesti:
* t = 1 s:
dI(1)/dt = -2(1-3) / (1 + (1-3)²)^2 = 1/5
ε(1) = -20 * 0,005024 m² * (4π * 10⁻⁷ T·m/A) * 2500 spire/m * (1/5) = -0,00005024 V
i(1) = -0,00005024 V / 1,5 Ω = -33,49 μA
Il segno negativo indica che la corrente indotta si oppone alla variazione del flusso magnetico (legge di Lenz).
* t = 3 s:
dI(3)/dt = -2(3-3) / (1 + (3-3)²)^2 = 0
ε(3) = 0 V
i(3) = 0 A
La corrente indotta è nulla perché il campo magnetico non varia in questo istante.
* t = 4 s:
dI(4)/dt = -2(4-3) / (1 + (4-3)²)^2 = -1/5
ε(4) = -20 * 0,005024 m² * (4π * 10⁻⁷ T·m/A) * 2500 spire/m * (-1/5) = 0,00005024 V
i(4) = 0,00005024 V / 1,5 Ω = 33,49 μA
Il segno positivo indica che la corrente indotta si oppone alla diminuzione del flusso magnetico.
Esercizio 2
L'intensità della corrente indotta è massima quando il valore assoluto della derivata della corrente rispetto al tempo è massimo.
Come abbiamo visto prima:
dI(t)/dt = -2(t-3) / (1 + (t-3)²)^2
Per trovare il massimo di questa funzione, possiamoDerivare di nuovo rispetto al tempo e uguagliare a zero:
d²I(t)/dt² = 2(3t^2 - 18t + 17) / (1 + (t-3)²)^3 = 0
Risolvendo l'equazione di secondo grado, otteniamo:
t = (18 ± √(18² - 4*3*17)) / (2*3) = 3 ± √3 / 3