Fisica I moto del proiettile

La velocità minima è quella per cui a metà del fosso (5 m) la componente verticale della velocità risulta nulla (massima altezza raggiunta) 

Moto rettilineo uniforme lungo l'asse x:

{5 = (1/2)* radice (3) * v * t

Moto rettilineo uniformemente accelerato lungo l'asse y:

{0 = v/2 - g*t

Per sostituzione:

radice (3)*v² = 20g

v= radice [4, (400*g²/3)] = 10,64 m/s

L'altezza massima è:

H= (10,64/2)²/(2g) = 1,44 m

Se un 84-enne come me rientra nel tuo "Ciao ragazzi" allora qui di seguito trovi prima la mia spiegazione di che cosa si tratta e poi la mia risoluzione del particolare problema dell'esercizio n° 1 (preciso "la mia" perché, se il tuo insegnante dice cose diverse, segui lui).
Se invece accetti solo risposte da responsori ragazzi allora smetti di leggere: io non lo sono.
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SPIEGAZIONE
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DA DOVE COMINCIARE
Per tutti gli esercizi di cinematica del punto materiale si comincia dallo scrivere, ma SOPRATTUTTO DAL PENSARE, "punto materiale" al posto di qualsiasi oggetto mobile sia nominato in narrativa.
Parlare di "proiettile" e/o di "motociclista" trasforma un problema di cinematica facile in uno di dinamica difficile e complicatissimo.
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Quindi, sfrondando il testo dalle chiacchiere di colore, il problema di cinematica proposto da "Esercizio n° 1" risulta come segue.
«
Un punto materiale, soggetto alla gravità terrestre, si lancia con velocità V incognita e alzo θ = 30° per ottenere una gittata di almeno d = 10 m.
Si chiede di determinare:
a) il minimo valore di V atto a ottenere e/o superare la gittata richiesta;
b) con tale V minima, l'ordinata del culmine della traiettoria.
»
Una volta che ci si siano chiarite le idee sui risultati richiesti e i dati forniti il secondo passo è la consultazione del libro di testo per ricopiare il modello matematico generale per la categoria cui appartiene il problema dello specifico esercizio (l'hai riconosciuta, spero! La categoria è "moto parabolico sotto gravità".)
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I passi successivi sono:
* particolarizzare il modello generale per lo specifico esercizio;
* manipolare il modello particolare ottenuto per ottenere i risultati richiesti (determinati o indeterminati) o per dimostrarne l'impossibilità;
* esibire risultati e/o dimostrazioni.
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MODELLO GENERALE
Un punto materiale lanciato dalla posizione Y(0, h) con velocità di modulo V e alzo θ (con V > 0 e θ in [- π/2, π/2]) ha la posizione istantanea P(x, y) data da
* x(t) = V*cos(θ)*t
* y(t) = h + (V*sin(θ) - (g/2)*t)*t
e la velocità istantanea v(t) = (V*cos(θ), vy(t)) data da
* vy(t) = V*sin(θ) - g*t
NOTE
1) Senza il valore locale per l'accelerazione di gravità si deve usare lo standard SI
* g = 9.80665 = 196133/20000 m/s^2
2) La traiettoria percorsa si ricava eliminando il parametro tempo dalle equazioni delle coordinate.
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RISOLUZIONE
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Con i dati
* h = 0
* θ = 30°
* d = 10 m
si ha
* sin(θ) = 1/2
* cos(θ) = √3/2
* x(t) = (√3/2)*V*t
* y(t) = (V/2 - (g/2)*t)*t
da cui in successione
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1) la traiettoria, con le condizioni restrittive sulla natura delle variabili
* (x = (√3/2)*V*t) & (y = (V/2 - (g/2)*t)*t) & (t >= 0) & (V > 0) & (g > 0) ≡
≡ (t = (2/√3)*x/V) & (y = (√3 - 2*g*x/V^2)*x/3)
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2) la gittata 'd'
* (y = (√3 - 2*g*d/V^2)*d/3 = 0) & (d > 0) & (V > 0) & (g > 0) ≡
≡ d = (√3/2)*V^2/g
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e la disequazione risolutiva, con le condizioni restrittive
* (d = (√3/2)*V^2/g >= L > 0) & (V > 0) & (g > 0) ≡
≡ V >= √((2/√3)*g*L)
che, con i valori dati, soddisfà alla consegna 'a)'
≡ V >= √((2/√3)*(196133/20000)*10) = √(196133/(1000*√3)) ~= 10.6413 ~= 10.64 m/s
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Per la consegna 'b)' si ha
* y = (√3 - 2*g*x/V^2)*x/3 = (√3 - 2*(196133/20000)*x/(196133/(1000*√3)))*x/3 ≡
≡ y(x) = (10 - x)*x/(10*√3)
che all'ascissa del culmine, media degli zeri, vale
* y(5) = (10 - 5)*5/(10*√3) = (5/6)*√3 ~= 1.44 m

Poiché le altezze di stacco ed atterraggio coincidono , vale la formula:

distanza d = 10 = V^2/g*sen (2*30°)

velocità iniziale V = √10*9,806/0,866 = 10,64 m/s

H = (V*sen 30°)^2/2g = 1,443 m