Dopo aver determinato, mediante dimostrazione, la velocità limite di un corpo che cade in un fluido viscoso, calcola il suo valore per una sferetta di marmo di raggio r = 4,2 mm e
densità Psfera = 2,7 • 10^2 kg m3 che cade in olio d'oliva avente densità Polio = 9,2 • 10^ 2 kg m3 e coefficiente di attrito viscoso n = 8,4 • 10-2 Pa • sec.
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Livello 1
Per la dimostrazione le riporto i passaggi passo passo tratti da Wikipedia
Per il calcolo della velocità limite guardi l'altro allegato
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Livello 7
Dopo aver determinato, mediante dimostrazione, la velocità limite di un corpo che cade in un fluido viscoso, calcola il suo valore per una sferetta di marmo di raggio r = 4,2 mm e densità ρsfera = 2,7 • 10^3 kg/m^3 che cade in olio d'oliva avente densità ρolio = 9,2 • 10^2 kg/m^3 e coefficiente di attrito viscoso ɳ = 8,4 • 10^-2 Pa • sec.
massa m = 0,52360*0,84^3*2,7 = 0,838 g
forza peso Fp = m*g = 0,838/1000*9,806 = 0,00822 N
buoyant force Fb = 0,52360*0,84^3*1*9,806 = 0,00304 N
Fv = Fp-Fb = 0,00518 N
V = Fv/(6*π*ɳ*r) = 0,00518/(6*3,1416*0,084*0,0042) = 0,78 m/s
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Genius II
secondo me una sfera che pesa 2,7*10^2 kg m^3
immersa in un fluido che pesa 9,2*10^2 kg m^3
galleggia!!!
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Livello 6
Ha perfettamente ragione! I calcoli confermano il galleggiamento
non c'è bisogno di nessun calcolo
mi hanno sempre detto che un pezzo di materiale più leggero dell'acqua galleggia
se un solido ha densità minore del liquido dove viene immerso
galleggia...
@maurilio57 Sarebbe vero se il marmo avesse una densità inferiore a quella dell'olio
Riscritture e valori veri
La "η eta" è una "ee", non una "n"; la "ρ rho" è una "r" un po' aspirata, non una "P" (però "P" è rho maiuscola).
* raggio r = 4.2 mm = 4.2/10^3 m
* area del cerchio massimo S = π*r^2 = π*1.764/10^5 m^2
* volume della sfera V = (4/3)*π*r^3 = π*9.8784/10^8 m^3
* densità marmo ρs = 2650 ~= 2.7*10^3 kg/m^3 (ρs = ρ del solido)
* densità olio d'oliva ρf = 916 ~= 9.2*10^2 kg/m^3 (ρf = ρ del fluido)
* viscosità olio d'oliva η = 0.081 Pl (1 poiseuille = 1 Pa·s) ~= 8.4/10^2 Pa·s
* accelerazione di gravità g = 9.80665 m/s^2
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Sfera in caduta libera in un fluido viscoso
Una sfera, di volume V e massa m = V*ρs, in caduta libera rispetto ad un fluido viscoso è soggetta a tre forze verticali
* forza di gravità verso il basso: Fg = g*V*ρs
* forza di Archimede verso l'alto: Fa = g*V*ρf
* forza di Stokes verso l'alto: Fs = 6*π*η*r*v (v = velocità di caduta)
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Con le quote y orientate verso il basso si ha l'equazione differenziale
* y'' = F/m = (g*V*ρs - g*V*ρf - 6*π*η*r*y')/(V*ρs) =
= g*(1 - ρf/ρs) - (9/2)*(η/((ρs)*r^2))*y' ≡
≡ y'' = p - q*y'
dove
* p = g*(1 - ρf/ρs)
* q = (9/2)*(η/((ρs)*r^2))
da cui
* y(t) = A*e^(- q*t)/q + p*t/q + B
* y'(t) = p/q - A*e^(- q*t)
poi "caduta libera" vuol dire y(0) = y'(0) = 0, cioè
* y'(0) = p/q - A*e^(- q*0) = 0 ≡ p/q - A = 0 ≡ A = p/q
* y(0) = A*e^(- q*0)/q + p*0/q + B = 0 ≡ A/q + B = 0 ≡ B = - p/q^2
quindi
* y(t) = (p/q^2)*(e^(- q*t) + q*t - 1)
* y'(t) = (p/q)*(1 - e^(- q*t))
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Esercizio
Determinare, mediante dimostrazione, la velocità limite
* vLim = lim_(t → ∞) y'(t) = p/q = (2/9)*(g/η)*(ρs - ρf)*r^2
Calcolare il suo valore per i dati forniti
* vLim = (2/9)*(g/η)*(ρs - ρf)*r^2 =
= (2/9)*(9.80665/(8.4/10^2))*(2700 - 920)*(4.2/10^3)^2 =
= 122190859/150000000 = 0.81460572(6) ~= 0.815 m/s
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Genius I
@exprof La Sua soluzione e la dimostrazione sono formalmente ineccepibili, ma difficilmente comprensibili per uno studente della seconda liceo come penso sia chi (anonimo43) ha postato il problema. Il concetto di derivata e di equazione differenziale viene appreso solo all'ultimo anno del liceo.
@Gregorius
ti ringrazio dell'attenzione e mi spiego.
Nel contesto del Regolamento di questo sito io rispondo a ciò che è scritto per come è scritto (se c'è scritto "potreste aiutarmi" io rispondo "sì, potrei") e mi vieto di fare ipotesi interpretative gratuite.
Se @Anonimo43 avesse voluto una trattazione da secondo liceo l'avrebbe dovuto dire e non avrebbe dovuto scrivere "mediante dimostrazione".
Ricambio il ringraziamento e, ovviamente, ognuno agisce secondo un proprio criterio. Tuttavia, per quella che è la mia esperienza professionale, il testo dell'esercizio è il classico problema che viene presentato nei libri di fisica liceali (l'Amaldi per esempio) e da ciò ho desunto quale potesse essere il livello di scolarità del richiedente l'aiuto.
Per tale motivo ho inserito una dimostrazione che è comunemente riportata in tutti i testi di fisica delle scuole superiori nel capitolo riguardante la dinamica dei fluidi.
Concludo mostrandoLe tutto il mio apprezzamento per le Sue sempre puntuali risposte che sono di grandissimo aiuto per molti studenti liceali e universitari.
Gregorius
@Gregorius
Quando nel mio istituto comprammo il nostro primo modem (110 bit/s, ~ 3000 € di oggi), ben prima del WWW che è a cavallo fra gli anni 80 e 90, la InterNet aveva pochi anni di vita (eravamo a cavallo fra gli anni 70 e 80) e si comunicava solo un carattere dopo l'altro come con le TTY dei Time Sharing delle origini. Mi capitò, corrispondendo con un signore argentino parecchio più grande di me, di rivolgermi a lui con il consueto Lei; ne ebbi in cambio una rimenata cortese, ma decisa «La InterNet non è paritaria solo nell'hardware, ma anche nelle relazioni personali; qui siamo fra pari ed è corretto darsi del tu!». Te la giro con la stessa cortesia anche se non con la stessa fermezza: ho piacere a leggerti, ma ne avrei di più se mi dessi del tu. Ti saluto.
PS: Edoardo Amaldi era il mio professore di Fisicona e quasi ogni mattina rischiava di investirmi con la sua Fiat 600 mentre attendevo la circolare per andare a Città degli Studi; quando non era lui era Anita Ekberg con la sua Mercedes 300 SL Ali di Gabbiano. Al second'anno (o al terzo?) mi son preso una 600 anch'io per non rischiare la pelle sei giorni alla settimana.
Ri-saluti.
Non mi scocci per nulla.
Hai pienamente ragione. Un aspetto giovanile anche nella piena maturità induce gli interlocutori a credere che non si abbia abbastanza esperienza nel campo professionale e le osservazioni più che pertinenti fatte durante le riunioni di lavoro vengono considerate di scarso interesse a prescindere.
Eppure dovrebbe essere la competenza professionale e non l'aspetto fisico a determinare il giudizio sull persona. Per mia fortuna ora a 65 anni compiuti, il problema si è risolto da sé. Buona notte!
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Livello 7
