Un'asta di massa $M$ e lunghezza $L=1.2 \mathrm{~m}$, che puó ruotare senza attriti intorno a una estremità $O$ rispetto alla quale il suo momento d'inerzia è $I=1 / 3 \mathrm{ML}^2$, inizialmente ferma inclinata di $\theta=30^{\circ}$ sotto T'orizzontale, viene lasciata libera di ruotare sotto l'azione della forza peso. (a) Calcolare la sua accelerazione angolare iniziale. (b) Applicando la conservazione dell'energia meccanica, calcolare la sua velocità angolare quando è verticale.
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Livello 1
Per calcolare il primo punto ci serviamo della legge fondamentale della dinamica rotazionale (ovvero l'equivalente rotazionale del secondo principio della dinamica):
M = I*α, dove I sta per momento d'inerzia e α per accelerazione angolare (quella che dobbiamo calcolare)
M ovvero il momento, si calcola con forza * braccio, la forza con cui ruota l'asta è proprio la sua forza peso, il braccio è la metà della lunghezza dell'asta. Il momento d'inerzia è stato dato dal problema
Buttiamo giù i dati
F*b = 1/3*M*L^2*α
La forza con cui ruota l'asta non è verticale ma è una componente del vettore forza, usiamo il seno per ottenerla, il braccio come già detto è la metà dell'asta
Fp*sin(60)*0,6 = 1/3*M*1,2^2*α
M*9,8*0,6*sin(60) = 1/3*M*1,2^2*α
α = [M*9,8*0,6*sin(60)]/(1/3*M*1,2^2), le M si semplificano ---> α = 10,6 rad/s^2
Come suggerito dal problema, per calcolare la velocità angolare dell'asta quando è in posizione verticale ci possiamo servire della conservazione del'energia meccanica, ovvero:
Ki + Ui = Kf + Uf (Dove "U" sta per energia potenziale gravitazionale e "K" per energia cinetica, "i" e "f" sono "iniziale" e "finale")
Ki ovvero l'energia cinetica iniziale, è uguale a 0 perché nel momento in cui viene lasciata cadere l'asta, la sua velocità è pari a 0, mentre nel momento in cui l'asta è in posizione verticale (ovvero nella posizione più bassa in cui l'asta si possa trovare) Uf è pari a 0, perché si trova ad altezza zero. Quindi otteniamo:
Ui = Kf
M*g*h = 1/2*I*ω^2, l'altezza iniziale si può calcolare moltiplicando la lunghezza dell'asta (dal centro di massa ovvero a metà dell'asta) per il seno di 30, perché è la componente verticale dell'asta inclinata
M*9,8*0,6*sin(30) = 1/2*1/3*M*1,2^2*ω^2, semplifico le M e isolo ω
ω = √[(9,8*0,6*sin(30))/(1/6*1,2^2)] = 3,5 rad/s
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Livello 3
@silverarrow 👍👌👍
inizialmente :
momento M = m*g*L/2*cos 30°
momento d'inerzia I = m*L^2/3
accelerazione angolare α = M/I = g*cos 30°*3 /2L = 9,806*0,866*3/(2*1,2) = 10,61 rad/s^2
con asta in verticale :
Δh = L/2 -L/2*sin 30° = L/2-L/4 = L/4 = 0,3 m
m*Δh*g = I/2*ω^2
ω = √m*0,3*g/(1/2*m*L^2/3) = √0,3*9,806*6/1,2^2 = 3,50 rad/s
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Genius II
