[Risolto] Fisica - Esercizio di Meccanica

La tensione T del filo fa ruotare il disco di massa = 20 kg con il suo momento M = r * T:

M = I * alfa; alfa = accelerazione angolare;

r * T = I * alfa

I = momento d'inerzia = 1/2 * 20 * r^2; alfa = a / r accelerazione angolare

r * T = 1/2 *20 * r^2 * a/r;

T = 10 r^2 * a / r^2 = 10 a; tensione della fune;

Forze sulla massa m = 6 kg sul piano inclinato:

F// = forza parallela al piano verso il besso del piano;

F attrito = 0,2 * m g * cos30°; forza frenante verso l'alto;

Tensione T della fune frenante verso l'alto;

F// - F attrito - T = m * a;

m g sen30° - 0,2 * m g *cos30° - 10 a = 6 a;

6 * 9,8 * 0,5 - 0,2 * 6 * 9,8 * 0,866 = 16 a;

29,4 - 10,2 = 16 a;

19,2 = 16 a;

a = 19,2 / 16 = 1,2 m/s^2,accelerazione della massa m;

v = a * t; dopo 2 secondi:

v = 1,2 * 2 = 2,4 m/s;

Energia cinetica del cilindro:

ω = alfa * t = (a / r) * t;

t = 2 s;

K = 1/2 I ω^2 = 1/2 * (1/2 M r^2) * (a^2/r^2) * t^2;  r si semplifica;

K = 1/4 * 20 * 1,2^2 * 2^2 = 28,8 J; energia cinetica del cilindro.

S = 1/2 a t^2 = 1/2 * 1,2 * 2^2 = 2,4 m; (spazio percorso dal corpo m9.

Energia cinetica K1 del corpo di massa m:

K1 = 1/2 * 6 * 2,4^2 = 17,28 J;

Ciao  @angelo8430

2^ legge della dinamica applicata alla massa m:

m·g·SIN(θ) - μ·m·g·COS(θ) - Τ = m·a

Applicata alla massa M:

Τ·r = Ι·α (analoga alla precedente : Τ·r è il momento applicato al cilindro)

Ι = 1/2·Μ·r^2 = momento di inerzia rispetto asse di rotazione

a = α·r è l'accelerazione tangenziale del cilindro:

α = a/r

Quindi:

Τ·r = (1/2·Μ·r^2)·(a/r)----> Τ = a·Μ/2

Per sostituzione abbiamo:

m·g·SIN(θ) - μ·m·g·COS(θ) - a·Μ/2 = m·a

che risolta fornisce a:

a = 2·g·m·(SIN(θ) - μ·COS(θ))/(2·m + Μ)

Con i dati inseriti in figura:

a = 2·9.806·6·(SIN(30°) - 0.2·COS(30°))/(2·6 + 20)

a = 1.2017 m/s^2

s = 1/2·a·t^2

t = 2 s ; a = 1.2017 m/s^2

s = 1/2·1.2017·2^2= 2.40 m (circa)

Ε = 1/2·Ι·ω^2 = energia cinetica rotazionale del cilindro

con ω = v/r

Ε = 1/2·(1/2·Μ·r^2)·(v/r)^2  = v^2·Μ/4

v = a·t

v = 1.2017·2 = 2.4034 m/s

Ε = 2.4034^2·20/4 = 28.882 J (circa)

forza accelerante Facc = m*g*(sin 30°-cos 30°*μ)

Facc = 6*9,806*(0,5-0,866*0,2) = 19,228 N

massa equivalente cilindro mec = M/2 = 20/2 = 10 kg 

accelerazione a = Facc/(m+mec) = 19,228/(10+6) = 1,202 m/s^2

S = a/2*t^2 = 0,601*2^2 = 2,404 m

V = a*t = 2*1,202  = 2,404 m/s

Eattr = 6*9,806*0,866*0,2*2,404 = 24,50 J 

conservazione dell'energia :

ΔUg = Eattr+Ek+Ekc

Ekc = U-(Ek+Eattr) = m*g*S/2 -Eattr-m/2*V^2

Ekc = 6*9,806*1,202-24,50-3*2,404^2 = 28,88 J

Per la seconda Legge di Newton

\[\sum F_{blocco} = ma = mg\sin{\beta} - \mu mg\cos{\beta} - T\]

\[\sum F_{cilindro} = \frac{Ma}{2} = T \,\because\, Tr = \tau = \frac{1}{2}Mr^2\frac{a}{r}\,.\]

Allora, risolvendo per $a$

\[ma = mg\sin{\beta} - \mu mg\cos{\beta} - \frac{Ma}{2} \implies ma + \frac{Ma}{2} = mg\sin{\beta} - \mu mg\cos{\beta} \iff\]

\[a = \frac{mg(\sin{\beta} - \mu \cos{\beta})}{m + \frac{M}{2}} \approx 1,2\:m\,s^{-2}\,.\]

Usando l'equazione del moto

\[s = \frac{1}{2}at^2 \Bigg|_{\substack{t = 2}}^{a = 1,2} \approx 2,4\:m\,.\]

L'energia cinetica $K$ del cilindro è data dalla relazione

\[K = \frac{1}{2}I\omega^2 \Bigg|_{\substack{\omega = \frac{v}{r}}}^{v = at} \approx 28,8\: J\,.\]